Het binomiale model afbreken om een ​​optie te waarderen

In de financiële wereld zijn de Black-Scholes en de binomiale optiewaarderingsmodellen twee van de belangrijkste concepten in de moderne financiële theorie. Beide worden gebruikt om een ​​optie te waarderen, en elk heeft zijn eigen voor- en nadelen.

Enkele van de belangrijkste voordelen van het gebruik van het binomiale model zijn:

• een weergave met meerdere periodes
• transparantie
• mogelijkheid om waarschijnlijkheden op te nemen

In dit artikel zullen we de voordelen van het binomiale model in plaats van het Black-Scholes-model onderzoeken en enkele basisstappen geven om het model te ontwikkelen en uitleggen hoe het wordt gebruikt.

Weergave voor meerdere periodes

Het binomiale model biedt een meervoudig overzicht van de onderliggende activaprijs en de prijs van de optie. In tegenstelling tot het Black-Scholes-model, dat een numeriek resultaat op basis van invoer biedt, maakt het binomiale model de berekening van het activum en de optie voor meerdere perioden mogelijk, samen met het bereik van mogelijke resultaten voor elke periode (zie hieronder).

Het voordeel van deze weergave met meerdere periodes is dat de gebruiker de verandering in activaprijs van periode tot periode kan visualiseren en de optie kan evalueren op basis van beslissingen die op verschillende tijdstippen zijn genomen. Voor een in de VS gevestigde optie, die op elk moment vóór de vervaldatum kan worden uitgeoefend, kan het binomiale model inzicht geven in wanneer de optie kan worden uitgeoefend en wanneer deze langer moet worden bewaard. Door naar de binomiale boom van waarden te kijken, kan een handelaar van tevoren bepalen wanneer een beslissing over een oefening kan optreden. Als de optie een positieve waarde heeft, bestaat de mogelijkheid om uit te oefenen, terwijl als de optie een waarde kleiner dan nul heeft, deze voor langere periodes moet worden aangehouden.

Transparantie

Nauw verbonden met de meerjarige evaluatie is het vermogen van het binomiale model om transparantie te bieden in de onderliggende waarde van het actief en de optie naarmate de tijd vordert. Het Black-Scholes-model heeft vijf ingangen:

1. Het risicovrije tarief
2. De uitoefenprijs
3. De huidige prijs van het activum
4. Tijd tot volwassenheid
5. De impliciete volatiliteit van de activaprijs

Wanneer deze gegevenspunten in een Black-Scholes-model worden ingevoerd, berekent het model een waarde voor de optie, maar de effecten van deze factoren worden niet per periode weergegeven. Met het binomiale model kan een handelaar de verandering in de onderliggende activaprijs van periode tot periode en de overeenkomstige verandering in de optieprijs zien.

Waarschijnlijkheden opnemen

De basismethode voor het berekenen van het binomiale optiemodel is om elke periode dezelfde kans op succes en mislukking te gebruiken totdat de optie verloopt. Een handelaar kan echter verschillende kansen opnemen voor elke periode op basis van nieuwe informatie die is verkregen naarmate de tijd verstrijkt.

Er is bijvoorbeeld een kans van 50/50 dat de onderliggende activaprijs in één periode met 30 procent kan stijgen of dalen. Voor de tweede periode kan de kans dat de onderliggende activaprijs zal stijgen echter toenemen tot 70/30. Als een belegger bijvoorbeeld een oliebron evalueert, weet die belegger niet zeker wat de waarde van die oliebron is, maar er is een kans van 50/50 dat de prijs omhoog gaat. Als de olieprijzen stijgen in periode 1, waardoor de oliebron waardevoller wordt en de marktfundamenten nu wijzen op voortdurende stijgingen van de olieprijzen, kan de kans op een verdere prijsstijging nu 70 procent zijn. Het binomiale model zorgt voor deze flexibiliteit; het Black-Scholes-model niet.

Het model ontwikkelen

Het eenvoudigste binomiale model heeft twee verwachte rendementen waarvan de kansen oplopen tot 100 procent. In ons voorbeeld zijn er op elk tijdstip twee mogelijke uitkomsten voor de oliebron. Een meer complexe versie kan drie of meer verschillende uitkomsten hebben, die elk een waarschijnlijkheid van voorkomen krijgen.

Om de rendementen per periode vanaf tijdstip nul (nu) te berekenen, moeten we de waarde van de onderliggende waarde één periode vanaf nu bepalen. In dit voorbeeld gaan we uit van het volgende:

• Prijs van onderliggende waarde (P): $ 500
• Oproepoptie uitoefenprijs (K): $ 600
• Risicovrij tarief voor de periode: 1 procent
• Prijswijziging per periode: 30 procent hoger of lager

De prijs van de onderliggende waarde is $ 500 en kan in periode 1 ofwel $ 650 of $ 350 waard zijn. Dat zou het equivalent zijn van een toename of afname van 30 procent in één periode. Aangezien de uitoefenprijs van de call-opties die we aanhouden $ 600 is, zou de waarde van de call-optie nul zijn als de onderliggende waarde lager is dan $ 600. Aan de andere kant, als de onderliggende waarde de uitoefenprijs van $ 600 overschrijdt, zou de waarde van de calloptie het verschil zijn tussen de prijs van de onderliggende waarde en de uitoefenprijs. De formule voor deze berekening is [max (PK), 0].

max [(P − K), 0] waarbij: P = prijs van onderliggende waardeK = uitoefenprijs calloptie \ begin {uitgelijnd} & \ max {\ links [\ links (PK \ rechts), 0 \ rechts]} \ \ \\ & \ textbf {waar:} \\ & P = \ text {Prijs van onderliggende waarde} \\ & K = \ text {Oproepoptie uitoefenprijs} \\ \ end {uitgelijnd} max [(P − K), 0] waar: P = Prijs van onderliggende waardeK = Uitoefenprijs calloptie

Stel dat er een kans van 50 procent is om omhoog te gaan en een kans van 50 procent om naar beneden te gaan. Met de Periode 1-waarden als een voorbeeld, wordt dit berekend als

max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0, 5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0, 5 = $ 50 ∗ 0, 5 + $ 0 = $ 25 \ begin {uitgelijnd} & \ max {\ left [\ left (\ $ 650 - \ $ 600 \ rechts), 0 \ rechts]} * 0.5+ \ max {\ links [\ links (\ $ 350 - \ $ 600 \ rechts), 0 \ rechts]} * 0.5 \\ & = \ $ 50 * 0.5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {uitgelijnd} max [($ 650− $ 600), 0] ∗ 0.5 + max [($ 350− $ 600), 0] ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25

Om de huidige waarde van de call-optie te krijgen, moeten we de $ 25 in periode 1 terugbrengen naar periode 0, wat is

$ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75 \ $ 25 / \ rest (1 + 1 \% \ rechts) = \ $ 24, 75 $ 25 / (1 + 1%) = $ 24, 75

U kunt nu zien dat als de kansen worden gewijzigd, de verwachte waarde van de onderliggende waarde ook zal veranderen. Als de waarschijnlijkheid moet worden gewijzigd, kan deze ook voor elke volgende periode worden gewijzigd en hoeft deze niet noodzakelijk overal hetzelfde te blijven.

Het binomiale model kan eenvoudig worden uitgebreid tot meerdere periodes. Hoewel het Black-Scholes-model het resultaat van een verlengde vervaldatum kan berekenen, breidt het binomiale model de beslissingspunten uit naar meerdere perioden.

Gebruik voor het binomiale model

Naast het gebruik als methode voor het berekenen van de waarde van een optie, kan het binomiale model ook worden gebruikt voor projecten of investeringen met een hoge mate van onzekerheid, beslissingen over kapitaalbegroting en middelenallocatie, en projecten met meerdere perioden of een ingebedde optie om op bepaalde momenten door te gaan of het project te verlaten.

Een eenvoudig voorbeeld is een project waarbij olie wordt geboord. De onzekerheid van dit type project of het land dat wordt geboord überhaupt olie bevat, de hoeveelheid olie die kan worden geboord, als er olie wordt gevonden, en de prijs waartegen de olie kan worden verkocht zodra deze is gewonnen.

Het binomiale optiemodel kan helpen bij het nemen van beslissingen op elk punt van het olieboringsproject. Neem bijvoorbeeld aan dat we besluiten om te boren, maar de oliebron is alleen winstgevend als we voldoende olie vinden en de olieprijs een bepaald bedrag overschrijdt. Het zal een volledige periode duren om te bepalen hoeveel olie we kunnen winnen, evenals de prijs van olie op dat moment. Na de eerste periode (bijvoorbeeld een jaar) kunnen we op basis van deze twee gegevenspunten beslissen of we doorgaan met het project door te boren of het project te verlaten. Deze beslissingen kunnen continu worden genomen totdat een punt wordt bereikt waar boren geen waarde heeft, waarna de put wordt verlaten.

Het komt neer op

Het binomiale model geeft een meer gedetailleerd overzicht door meerdere periodes van de onderliggende activaprijs en de prijs van de optie voor meerdere periodes toe te staan, evenals het bereik van mogelijke resultaten voor elke periode. Hoewel zowel het Black-Scholes-model als het binomiale model kunnen worden gebruikt om opties te waarderen, heeft het binomiale model een breder scala aan toepassingen, is intuïtiever en gemakkelijker te gebruiken.