De stelling van Bayes
De stelling van Bayes, genoemd naar de 18e-eeuwse Britse wiskundige Thomas Bayes, is een wiskundige formule voor het bepalen van voorwaardelijke waarschijnlijkheid. De stelling biedt een manier om bestaande voorspellingen of theorieën (update-kansen) te herzien bij nieuw of aanvullend bewijs. In de financiële sector kan de stelling van Bayes worden gebruikt om het risico van het lenen van geld aan potentiële leners te beoordelen.
De stelling van Bayes wordt ook wel Bayes 'Rule of Bayes' Law genoemd en is de basis van het veld van Bayesiaanse statistieken.
Belangrijkste leerpunten
- Met de stelling van Bayes kunt u de voorspelde waarschijnlijkheden van een gebeurtenis bijwerken door nieuwe informatie op te nemen.
- De stelling van Bayes is vernoemd naar de wiskundige Thomas Bayes uit de 18e eeuw.
- Het wordt vaak gebruikt in financiën bij het bijwerken van risico-evaluatie.
De formule voor de stelling van Bayes is
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) waar: P (A) = De waarschijnlijkheid dat A voorkomt P (B) = De kans dat B voorkomt P (A∣B) = De waarschijnlijkheid van A gegeven BP (B∣A) = De waarschijnlijkheid dat B gegeven AP (A⋂B)) = De waarschijnlijkheid dat zowel A als B optreedt \ begin {uitgelijnd} & P \ linker (A | B \ right) = \ frac {P \ linker (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ linker (B \ right)} = \ frac {P \ linker (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {waar:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {De kans dat A optreedt} \\ & P \ left (B \ rechts) = \ text {De waarschijnlijkheid dat B voorkomt} \\ & P \ links (A | B \ rechts) = \ text {De waarschijnlijkheid van A gegeven B} \\ & P \ links (B | A \ rechts) = \ text {De waarschijnlijkheid van B gegeven A} \\ & P \ links (A \ bigcap {B} \ rechts)) = \ text {De kans dat zowel A als B voorkomen} \\ \ end {uitgelijnd} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) waarbij: P (A) = De waarschijnlijkheid dat A voorkomt P (B) = De waarschijnlijkheid van B optredend P (A∣B) = De waarschijnlijkheid van A gegeven BP (B∣A) = De waarschijnlijkheid van B gegeven AP (A⋂B)) = De waarschijnlijkheid dat zowel A als B voorkomen
De stelling van Bayes uitgelegd
Toepassingen van de stelling zijn wijdverbreid en niet beperkt tot het financiële rijk. Als voorbeeld kan de stelling van Bayes worden gebruikt om de nauwkeurigheid van medische testresultaten te bepalen door rekening te houden met de kans dat een bepaalde persoon een ziekte heeft en de algemene nauwkeurigheid van de test. De stelling van Bayes is gebaseerd op het opnemen van eerdere kansverdelingen om achterste kansen te genereren. Voorafgaande waarschijnlijkheid, in Bayesiaanse statistische inferentie, is de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis voordat nieuwe gegevens worden verzameld. Dit is de beste rationele beoordeling van de waarschijnlijkheid van een uitkomst op basis van de huidige kennis voordat een experiment wordt uitgevoerd. De posterior waarschijnlijkheid is de herziene waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis zich voordoet nadat nieuwe informatie in aanmerking is genomen. De posterior waarschijnlijkheid wordt berekend door de eerdere waarschijnlijkheid bij te werken met behulp van de stelling van Bayes. In statistische termen is de posterieure waarschijnlijkheid de kans dat gebeurtenis A optreedt gezien gebeurtenis B heeft plaatsgevonden.
De stelling van Bayes geeft dus de kans op een gebeurtenis op basis van nieuwe informatie die verband houdt met die gebeurtenis. De formule kan ook worden gebruikt om te zien hoe de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis wordt beïnvloed door hypothetische nieuwe informatie, ervan uitgaande dat de nieuwe informatie waar zal blijken te zijn. Stel bijvoorbeeld dat een enkele kaart wordt getrokken uit een compleet kaartspel van 52 kaarten. De kans dat de kaart een koning is, is 4 gedeeld door 52, wat gelijk is aan 1/13 of ongeveer 7, 69%. Vergeet niet dat er 4 koningen in het dek zijn. Stel nu dat wordt onthuld dat de geselecteerde kaart een gezichtskaart is. De kans dat de geselecteerde kaart een koning is, is, gezien het een gezichtskaart is, 4 gedeeld door 12, of ongeveer 33, 3%, aangezien er 12 gezichtskaarten in een kaartspel zijn.
De stellingformule van Bayes afleiden met een voorbeeld
De stelling van Bayes volgt eenvoudig uit de axioma's van voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Voorwaardelijke waarschijnlijkheid is de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis gegeven dat zich een andere gebeurtenis heeft voorgedaan. Een eenvoudige waarschijnlijkheidsvraag kan bijvoorbeeld de vraag stellen: "Wat is de kans dat Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) de aandelenkoers daalt?" Voorwaardelijke waarschijnlijkheid gaat deze vraag nog een stap verder door te vragen: "Wat is de kans dat de AMZN-aandelenkoersen dalen, gezien het feit dat de Dow Jones Industrial Average (DJIA) -index eerder daalde?"
De voorwaardelijke waarschijnlijkheid van A gegeven dat B is gebeurd, kan worden uitgedrukt als:
Als A is: "AMZN-prijs daalt", dan is P (AMZN) de kans dat AMZN daalt; en B is: "DJIA is al down" en P (DJIA) is de kans dat de DJIA is gevallen; dan luidt de voorwaardelijke kansuitdrukking als "de kans dat AMZN daalt bij een DJIA-daling is gelijk aan de kans dat de AMZN-prijs daalt en DJIA daalt over de waarschijnlijkheid van een daling van de DJIA-index.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN en DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN en DJIA) is de kans dat zowel A als B optreden. Dit is ook hetzelfde als de waarschijnlijkheid dat A voorkomt, vermenigvuldigd met de waarschijnlijkheid dat B optreedt, gegeven dat A voorkomt, uitgedrukt als P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Het feit dat deze twee uitdrukkingen gelijk zijn, leidt tot de stelling van Bayes, die luidt als:
if, P (AMZN en DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
vervolgens is P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Waar P (AMZN) en P (DJIA) de kansen zijn dat Amazon en de Dow Jones vallen, zonder rekening te houden met elkaar.
De formule verklaart de relatie tussen de waarschijnlijkheid van de hypothese voordat het bewijs wordt gezien dat P (AMZN), en de waarschijnlijkheid van de hypothese na het verkrijgen van het bewijs P (AMZN | DJIA), gegeven een hypothese voor Amazon gegeven bewijs in de Dow.
Numeriek voorbeeld van de stelling van Bayes
Stel je als numeriek voorbeeld voor dat er een drugstest is die 98% nauwkeurig is, wat betekent dat 98% van de tijd een echt positief resultaat oplevert voor iemand die het medicijn gebruikt en 98% van de tijd een echt negatief resultaat voor niet-gebruikers van de drug. Veronderstel vervolgens dat 0, 5% van de mensen het medicijn gebruikt. Als een willekeurig gekozen persoon positief test voor het medicijn, kan de volgende berekening worden gemaakt om te zien of de kans dat de persoon daadwerkelijk een medicijngebruiker is.
(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 - 0.98) x (1 - 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%
De stelling van Bayes laat zien dat zelfs als een persoon in dit scenario positief testte, het veel waarschijnlijker is dat de persoon geen druggebruiker is.
Vergelijk beleggingsrekeningen Aanbieder Naam Beschrijving Adverteerder Openbaarmaking × De aanbiedingen die in deze tabel worden weergegeven, zijn afkomstig van samenwerkingsverbanden waarvan Investopedia een vergoeding ontvangt.