Continue samengestelde rente

Samengestelde rente is rente berekend op de initiële hoofdsom en ook op de geaccumuleerde rente van voorgaande perioden van een deposito of lening. Het effect van samengestelde rente is afhankelijk van de frequentie.

Ga uit van een jaarlijkse rentevoet van 12%. Als we het jaar beginnen met $ 100 en compound slechts eenmaal, aan het einde van het jaar, groeit de hoofdsom naar $ 112 ($ 100 x 1, 12 = $ 112). Als we in plaats daarvan elke maand samenstellen op 1%, krijgen we aan het einde van het jaar meer dan $ 112. Dat wil zeggen, $ 100 x 1, 01 ^ 12 bij $ 112, 68. (Het is hoger omdat we vaker hebben samengesteld.)

Continu samengesteld geeft de meest voorkomende verbinding weer. Continuous compounding is de wiskundige limiet die samengestelde interesse kan bereiken. Het is een extreem geval van samenstelling, omdat de meeste rente wordt samengesteld op maandelijkse, driemaandelijkse of halfjaarlijkse basis.

Halfjaarlijkse rendementen

Laten we eerst eens kijken naar een mogelijk verwarrende conventie. In de obligatiemarkt verwijzen we naar een obligatie-equivalent rendement (of obligatie-equivalente basis). Dit betekent dat als een obligatie op halfjaarbasis 6% oplevert, het obligatie-equivalent rendement 12% is.

Figuur 1

De halfjaarlijkse opbrengst wordt eenvoudig verdubbeld. Dit is potentieel verwarrend omdat het effectieve rendement van een 12% obligatie-equivalente rendementsobligatie 12, 36% is (dat wil zeggen 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Verdubbeling van de halfjaarlijkse opbrengst is slechts een conventie voor het benoemen van obligaties. Daarom gaan we ervan uit dat als we lezen over een halfjaarlijkse samengestelde obligatie van 8%, dit verwijst naar een halfjaarlijkse opbrengst van 4%.

Driemaandelijkse, maandelijkse en dagelijkse rendementen

Laten we nu hogere frequenties bespreken. We gaan nog steeds uit van een jaarlijkse marktrente van 12%. Onder naamgevingsconventies voor obligaties houdt dat een halfjaarlijks samengesteld percentage van 6% in. We kunnen nu de driemaandelijkse samengestelde rente uitdrukken als functie van de marktrente.

Figuur 2

Gegeven een jaarlijkse marktkoers ( r), wordt de driemaandelijkse samengestelde koers ( r _q ) gegeven door:

Dus in ons voorbeeld, waar het jaarlijkse markttarief 12% is, is het driemaandelijkse samengestelde tarief 11, 825%:

figuur 3

Een vergelijkbare logica is van toepassing op maandelijkse bereidingen. De maandelijkse samengestelde koers ( r _m ) wordt hier gegeven als functie van de jaarlijkse marktrente ( r):

De dagelijkse samengestelde koers ( d) als functie van de marktrente ( r) wordt gegeven door:

Hoe Continuous Compounding werkt

Figuur 4

Als we de samengestelde frequentie tot zijn limiet verhogen, bereiden we ons continu voor. Hoewel dit misschien niet praktisch is, biedt de continu samengestelde rente geweldig handige eigenschappen. Het blijkt dat de continu samengestelde rente wordt gegeven door:

Ln () is het natuurlijke logboek en in ons voorbeeld is de continu samengestelde snelheid daarom:

We komen op dezelfde plaats door de natuurlijke log van deze verhouding te nemen: de eindwaarde gedeeld door de startwaarde.

Dit laatste is gebruikelijk bij het berekenen van het continu samengestelde rendement voor een aandeel. Als het aandeel bijvoorbeeld van $ 10 de ene dag naar $ 11 de volgende dag springt, wordt het continu samengestelde dagelijkse rendement gegeven door:

Wat is er zo geweldig aan het continu samengestelde tarief (of rendement) dat we zullen aangeven met r _c ">

Merk op dat e de exponentiële functie is. Als we bijvoorbeeld beginnen met $ 100 en continu samenvallen op 8% over drie jaar, wordt de uiteindelijke rijkdom gegeven door:

Het disconteren van de contante waarde (PV) is alleen maar omgekeerd samengesteld, dus de contante waarde van een toekomstige waarde (F) die continu wordt samengesteld met een snelheid van ( r _c ) wordt gegeven door:

Als u bijvoorbeeld binnen drie jaar $ 100 ontvangt onder een continu tarief van 6%, wordt de huidige waarde gegeven door:

Schalen over meerdere perioden

De handige eigenschap van de continu samengestelde rendementen is dat deze over meerdere perioden wordt geschaald. Als het rendement voor de eerste periode 4% is en het rendement voor de tweede periode 3%, dan is het rendement over twee periodes 7%. Overweeg dat we het jaar beginnen met $ 100, dat aan het einde van het eerste jaar groeit tot $ 120, en vervolgens aan het einde van het tweede jaar $ 150. De continu samengestelde rendementen zijn respectievelijk 18, 23% en 22, 31%.

Als we deze eenvoudig bij elkaar optellen, krijgen we 40, 55%. Dit is het rendement voor twee periodes:

Technisch gezien is de continue terugkeer consistent met de tijd. Tijdconsistentie is een technische vereiste voor value at risk (VAR). Dit betekent dat als een rendement met een enkele periode een normaal verdeelde willekeurige variabele is, we willen dat willekeurige variabelen met meerdere periodes ook normaal verdeeld worden. Bovendien is het continu samengestelde rendement over meerdere periodes normaal verdeeld (in tegenstelling tot bijvoorbeeld een eenvoudig percentage rendement).

Het komt neer op

We kunnen de jaarlijkse rentevoeten herformuleren in halfjaarlijkse, driemaandelijkse, maandelijkse of dagelijkse rentetarieven (of rendementspercentages). De meest voorkomende samenstelling is continue samenstelling, waarvoor we een natuurlijk logboek en een exponentiële functie moeten gebruiken, die gewoonlijk wordt gebruikt in de financiële sector vanwege de gewenste eigenschappen - het schaalt gemakkelijk over meerdere periodes en het is consistent in de tijd.