Huidige en toekomstige waarde van lijfrenten berekenen

Op een bepaald moment in je leven heb je misschien een reeks vaste betalingen moeten doen gedurende een bepaalde periode - zoals huur- of autobetalingen - of een reeks betalingen gedurende een bepaalde periode ontvangen, zoals rente van obligaties of cd's. Dit worden lijfrentes genoemd (een algemener gebruik van het woord - niet te verwarren met het specifieke financiële product dat een lijfrente wordt genoemd, hoewel de twee verwant zijn). Als u de tijdwaarde van geld begrijpt, bent u klaar om te leren over annuïteiten en hoe hun huidige en toekomstige waarden worden berekend.

Wat zijn lijfrentes?

Lijfrenten zijn in wezen een reeks vaste betalingen die van u worden vereist, of aan u worden betaald, op een gespecificeerde frequentie in de loop van een vaste periode. Betalingsfrequenties kunnen jaarlijks, halfjaarlijks (tweemaal per jaar), driemaandelijks en maandelijks zijn. Er zijn twee basistypen van annuïteiten: gewone annuïteiten en verschuldigde annuïteiten.

• Gewone lijfrente: betalingen zijn vereist aan het einde van elke periode. Bijvoorbeeld, gewone obligaties verrichten gewoonlijk couponbetalingen aan het einde van elke zes maanden tot de vervaldatum van de obligatie.
• Lijfrente: Betalingen zijn vereist aan het begin van elke periode. Huur is een voorbeeld van een te betalen lijfrente. Meestal bent u verplicht om huur te betalen wanneer u voor het eerst aan het begin van de maand gaat wonen, en vervolgens de eerste van elke maand daarna.

Omdat de huidige en toekomstige waardeberekeningen voor gewone annuïteiten en verschuldigde annuïteiten enigszins verschillen, zullen we ze afzonderlijk bespreken.

Gewone Lijfrenten

Berekening van de toekomstige waarde

Als u weet hoeveel u per periode gedurende een bepaalde periode kunt beleggen, is de toekomstige waarde (FV) van een gewone lijfrenteformule nuttig om erachter te komen hoeveel u in de toekomst zou hebben. Als u met een lening betaalt, is de toekomstige waarde nuttig bij het bepalen van de totale kosten van de lening. Als u weet hoeveel u van plan bent elk jaar te beleggen en het vaste rendement dat uw lijfrentegaranties garanderen - of, voor leningen, het bedrag van uw betalingen en de gegeven rentevoet - kunt u eenvoudig de waarde van uw account op elk moment in de toekomst.

Laten we nu voorbeeld 1 doornemen. Overweeg het volgende lijfrenteschema:

Om de toekomstige waarde van de rente te berekenen, moeten we de toekomstige waarde van elke kasstroom berekenen. Laten we aannemen dat u de komende vijf jaar elk jaar $ 1.000 ontvangt en dat u elke betaling investeert tegen een rente van 5%. Het volgende diagram toont hoeveel u zou hebben aan het einde van de periode van vijf jaar:

Omdat we de toekomstige waarde van elke betaling moeten toevoegen, is het je misschien opgevallen dat als je een gewone annuïteit met veel kasstromen hebt, het lang zou duren om alle toekomstige waarden te berekenen en ze vervolgens bij elkaar op te tellen. Gelukkig biedt wiskunde een formule die dient als een snelkoppeling voor het vinden van de geaccumuleerde waarde van alle kasstromen ontvangen van een gewone lijfrente:

FVOrdinary Lijfrente = C × [(1 + i) n − 1i] waar: C = Cashflow per periodi = Raten rente = Aantal betalingen \ begin {uitgelijnd} & \ text {FV} _ {\ text {Gewoon ~ Lijfrente }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {C} = \ text {Cashflow per periode} \\ & i = \ text {Interest rate} \\ & n = \ text {Aantal betalingen} \\ \ end {afgestemd} FVOrdinaire lijfrente = C × [i (1 + i) n − 1] waarbij: C = Cashflow per periodi = Rentebaten = Aantal betalingen

Met de bovenstaande formule voor voorbeeld 1 hierboven is dit het resultaat:

FVOrdinaire lijfrente = $ 1000 × [(1 + 0.05) 5-10.05] = $ 1000 × [5.53] \ begin {uitgelijnd} \ text {FV} _ {\ text {gewone ~ lijfrente}} & = \ $ 1000 \ keer \ resterend [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ rechts] \\ & = \ $ 1000 \ keer [5.53] \\ & = \ $ 5525.63 \ end {uitgelijnd} FVOrdinaire lijfrente = $ 1000 × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 1/5] = $ 1000 × [5, 53]

Berekening van de contante waarde

Merk op dat het verschil van één cent tussen $ 5, 525, 64 en $ 5, 525, 63 te wijten is aan een afrondingsfout in de eerste berekening. Elke waarde van de eerste berekening moet naar de dichtstbijzijnde cent worden afgerond. Hoe meer u getallen in een berekening moet afronden, hoe groter de kans op afrondingsfouten. Dus de bovenstaande formule biedt niet alleen een snelkoppeling naar het vinden van de FV van een gewone annuïteit, maar geeft ook een nauwkeuriger resultaat.

De contante waarde van een annuïteit is gewoon de huidige waarde van alle inkomsten die door die investering in de toekomst worden gegenereerd. Deze berekening is gebaseerd op het concept van de tijdswaarde van geld, dat stelt dat een dollar nu meer waard is dan een in de toekomst verdiende dollar. Daarom gebruiken huidige waardeberekeningen het aantal perioden waarover inkomsten worden gegenereerd om de waarde van toekomstige betalingen te verdisconteren.

Als u de waarde van vandaag van een toekomstige betalingsreeks wilt bepalen, moet u de formule gebruiken die de huidige waarde (PV) van een gewone lijfrente berekent. Dit is de formule die u zou gebruiken als onderdeel van een prijsberekening voor obligaties. De PV van een gewone lijfrente berekent de contante waarde van de couponbetalingen die u in de toekomst zult ontvangen.

Voor voorbeeld 2 gebruiken we hetzelfde annuïteitencashflowschema als in voorbeeld 1. Om de totale kortingswaarde te verkrijgen, moeten we de contante waarde van elke toekomstige betaling nemen en, net als in voorbeeld 1, de kasstromen samen.

Nogmaals, het berekenen en toevoegen van al deze waarden kost veel tijd, vooral als we veel toekomstige betalingen verwachten. Hoewel veel online rekenmachines de huidige waarde van een lijfrente kunnen bepalen, is de formule voor een regelmatige lijfrente niet al te ingewikkeld om handmatig te berekenen, als we een wiskundige snelkoppeling gebruiken voor PV van een gewone lijfrente.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) −ni] \ text {PV} _ {\ text {Gewone ~ Lijfrente}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOrdinary Annuity = C × [i1− (1 + i) −n]

De formule biedt ons de PV in een paar eenvoudige stappen. Hier is de berekening van de annuïteit weergegeven in het diagram voor Voorbeeld 2:

PVOrdinaire lijfrente = $ 1000 × [1− (1 + 0.05) −50.05] = $ 1000 × [4.33] \ begin {uitgelijnd} \ text {PV} _ {\ text {gewone ~ lijfrente}} & = \ $ 1000 \ keer \ Big [\ dfrac {1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ keer [4.33] \\ & = \ $ 4329.48 \ end {gericht} PVOrdinary Annuity = $ 1.000 x [0.051- (1 + 0, 05) -5] = $ 1000 × [4.33]

Berekening van de toekomstige waarde

Wanneer u cashflows ontvangt of betaalt voor een annuïteit, ziet uw cashflowschema er als volgt uit:

Omdat elke betaling in de serie één periode eerder wordt gedaan, moeten we de formule 1-periode terug in mindering brengen. Een kleine wijziging in de FV-van-een-gewone-annuïteitenformule houdt rekening met betalingen die plaatsvinden aan het begin van elke periode. Laten we in voorbeeld 3 illustreren waarom deze aanpassing nodig is wanneer elke betaling van $ 1.000 aan het begin van de periode wordt gedaan in plaats van aan het einde (rentevoet nog steeds 5%):

Merk op dat wanneer betalingen worden gedaan aan het begin van de periode, elk bedrag langer wordt vastgehouden aan het einde van de periode. Als de $ 1.000 bijvoorbeeld elk jaar op 1 januari werd geïnvesteerd in plaats van op 31 december, zou de laatste betaling voordat we onze investering aan het einde van vijf jaar (op 31 december) waarderen, een jaar eerder (1 januari) zijn gedaan dan dezelfde dag waarop het wordt gewaardeerd. De toekomstige waarde van de annuïteitenformule zou dan luiden:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

daarom

FVAnnuity Due = $ 1000 × [(1 + 0.05) 5-10.05] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 5.53 × 1.05 \ begin {uitgelijnd} FV _ {\ text {Lijfrente verschuldigd}} & = \ $ 1000 \ keer \ resterend [\ frac {(1 + 0.05) ^ 5-1} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times5.53 \ times1.05 \\ & = \ $ 5801.91 \ end { uitgelijnd} FVAnnuity Due = $ 1000 × [0.05 (1 + 0.05) 5-1] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 5.53 × 1.05

Lijfrente verschuldigd

Berekening van de contante waarde

Voor de contante waarde van een op de annuïteiten verschuldigde formule, moeten we de formule 1-periode naar voren verdisconteren, omdat de betalingen korter worden ingehouden. Bij de berekening van de contante waarde gaan we ervan uit dat de eerste betaling vandaag is gedaan.

We kunnen deze formule gebruiken voor het berekenen van de contante waarde van uw toekomstige huurbetalingen zoals gespecificeerd in een huurovereenkomst die u met uw verhuurder tekent. Stel dat u uw eerste huurbetaling (zie voorbeeld 4 hieronder) aan het begin van de maand uitvoert en de huidige waarde van uw huurovereenkomst van vijf maanden op dezelfde dag evalueert. Uw huidige waardeberekening zou als volgt werken:

Natuurlijk kunnen we een formule-snelkoppeling gebruiken om de contante waarde van een verschuldigde annuïteit te berekenen:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) −ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ rechts] \ keer (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) −n] × (1 + i)

daarom

PVAnnuity Due = $ 1000 × [(1− (1 + 0.05) −50.05] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 4.33 × 1.05 \ begin {gericht} PV _ {\ text {Lijfrente}} & = \ $ 1000 \ keer \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ $ 4545, 95 \ end {uitgelijnd} PVAnnuity Due = $ 1000 × [0.05 (1− (1 + 0.05) −5] × (1 + 0.05) = $ 1000 × 4.33 × 1.05

Bedenk dat de contante waarde van een gewone lijfrente een waarde van $ 4, 329, 48 opleverde. De contante waarde van een gewone lijfrente is lager dan die van een verschuldigde lijfrente, want hoe verder we een toekomstige betaling verdisconteren, hoe lager de huidige waarde - elke betaling of kasstroom in een gewone lijfrente vindt een periode verder in de toekomst plaats.

De tijdwaarde van geld

De toekomstige waardeberekening is gebaseerd op het concept van de tijdwaarde van geld. Dit betekent gewoon dat een vandaag verdiende dollar meer waard is dan een dollar die morgen wordt verdiend, omdat fondsen die u nu beheert, kunnen worden geïnvesteerd en in de loop van de tijd rente kunnen verdienen. Daarom is de toekomstige waarde van een annuïteit groter dan de som van al uw beleggingen omdat die bijdragen in de loop van de tijd rente hebben verdiend. Bijvoorbeeld, de toekomstige waarde van $ 1.000 vandaag geïnvesteerd tegen 10% rente is $ 1.100 over een jaar vanaf nu. Een enkele dollar vandaag is $ 1, 10 waard in een jaar vanwege de tijdswaarde van geld.

Stel dat u gedurende 15 jaar jaarlijkse betalingen van $ 5.000 doet aan uw gewone lijfrente. Het verdient 9% rente, jaarlijks samengesteld.

FV = $ 5.000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 × 2.642 ÷ 0.09 \ begin {uitgelijnd} FV & = \ $ 5.000 \ keer \ {(((1 + 0.09) ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \} \\ & = \ $ 5.000 \ keer \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \ } \\ & = \ $ 5.000 \ keer 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ $ 5.000 \ keer \ $ 146.804.58 \ end {uitgelijnd} FV = $ 5.000 × {(((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = $ 5.000 x {((1, 0915) -1) ÷ 0.09} = $ 5.000 x 2.642 ÷ 0, 09

Zonder de kracht van rente-samenstelling is uw serie van $ 5.000 bijdragen slechts $ 75.000 waard aan het einde van 15 jaar. In plaats daarvan, met samengestelde rente, is de toekomstige waarde van uw lijfrente bijna het dubbele van $ 146.804, 58.

Om de toekomstige waarde van een verschuldigde annuïteit te berekenen, vermenigvuldigt u eenvoudig de gewone toekomstige waarde met 1+ i (de rentevoet). In het bovenstaande voorbeeld is de toekomstige waarde van een annuïteit met dezelfde parameters eenvoudig $ 146.804, 58 x (1 + 0, 09), of $ 160.016, 99.

Contante waardeoverwegingen

Bij het berekenen van de contante waarde van een annuïteit is het belangrijk dat alle variabelen consistent zijn. Als de lijfrente bijvoorbeeld jaarlijkse betalingen genereert, moet de rentevoet ook worden uitgedrukt als een jaarlijkse rente. Als de lijfrente bijvoorbeeld maandelijkse betalingen genereert, moet de rentevoet ook worden uitgedrukt als een maandelijkse rente.

Stel dat een lijfrente een rentevoet van 10% heeft die jaarlijkse betalingen van $ 3.000 genereert voor de komende 15 jaar. De contante waarde van deze lijfrente is:

= $ 3, 000 x (((1- (1 + 0, 1) -15)) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 x ((1-, 239392) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 x 7, 60608 \ begin {uitgelijnd } & = \ $ 3.000 \ keer (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ keer ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ keer (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ $ 3.000 \ keer 7.60608 \\ & = \ $ 22.818 \ end {uitgelijnd} = $ 3.000 × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 x ((1-, 239392) ÷ 0, 1) = $ 3, 000 x (0, 760608 ÷ 0, 1) = $ 3.000 x 7, 60608

Contante waarde van een lijfrente

Het komt neer op

Nu kunt u zien hoe annuïteiten van invloed zijn op hoe u de huidige en toekomstige waarde van een hoeveelheid geld berekent. Vergeet niet dat de betalingsfrequenties of het aantal betalingen en het tijdstip waarop deze betalingen worden gedaan (aan het begin of aan het einde van elke betalingsperiode) allemaal variabelen zijn waarmee u rekening moet houden in uw berekeningen.

Bij het plannen van uw pensioen is het belangrijk om een ​​goed idee te hebben van het inkomen waarop u elk jaar kunt vertrouwen. Hoewel het relatief eenvoudig kan zijn om bij te houden hoeveel je in door de werkgever gesponsorde pensioenregelingen, individuele pensioenrekeningen (IRA's) en lijfrenten steekt, is het niet altijd zo gemakkelijk om te weten hoeveel je eruit krijgt. Gelukkig, als het gaat om vastrentende annuïteiten of plannen die zijn belegd in vastrentende effecten, is er een eenvoudige manier om te berekenen hoeveel geld u na pensionering kunt verwachten op basis van hoeveel u op uw rekening hebt gezet tijdens uw werkjaren .