Hoe Monte Carlo-simulatie te gebruiken met GBM

Een van de meest gebruikelijke manieren om het risico te schatten, is het gebruik van een Monte Carlo-simulatie (MCS). Om bijvoorbeeld de Value at Risk (VaR) van een portefeuille te berekenen, kunnen we een Monte Carlo-simulatie uitvoeren die probeert het ergste waarschijnlijke verlies voor een portefeuille te voorspellen gegeven een betrouwbaarheidsinterval gedurende een specifieke tijdshorizon (we moeten altijd twee opgeven voorwaarden voor VaR: vertrouwen en horizon).

In dit artikel bespreken we een basis-MCS toegepast op een aandelenprijs met behulp van een van de meest voorkomende financiële modellen: geometrische Brownse beweging (GBM). Daarom, hoewel Monte Carlo-simulatie kan verwijzen naar een universum van verschillende benaderingen van simulatie, zullen we hier beginnen met de meest basale.

Waar te beginnen

Een Monte Carlo-simulatie is een poging om de toekomst vele malen te voorspellen. Aan het einde van de simulatie produceren duizenden of miljoenen "willekeurige proeven" een verdeling van de resultaten die kunnen worden geanalyseerd. De basisstappen zijn als volgt:

1. Geef een model op (bijvoorbeeld GBM)

Voor dit artikel zullen we de Geometric Brownian Motion (GBM) gebruiken, wat technisch gezien een Markov-proces is. Dit betekent dat de aandelenkoers een willekeurige stap volgt en consistent is met (op zijn minst) de zwakke vorm van de efficiënte markthypothese (EMH) - prijsinformatie uit het verleden is al opgenomen en de volgende koersbeweging is "voorwaardelijk onafhankelijk" van voorbije prijsbewegingen.

De formule voor GBM vindt u hieronder:

Waar:

• S = de aandelenkoers
• Δ S = de verandering in aandelenkoers
• μ = het verwachte rendement
• σ = De standaarddeviatie van retouren
• ϵ = De willekeurige variabele
• Δ t = De verstreken tijdsperiode

Als we de formule opnieuw rangschikken om alleen voor de wijziging van de aandelenkoers op te lossen, zien we dat GBM zegt dat de wijziging van de aandelenkoers de aandelenkoers "S" is, vermenigvuldigd met de twee termen tussen de haakjes hieronder:

De eerste term is een "drift" en de tweede term is een "schok". Voor elke tijdsperiode gaat ons model ervan uit dat de prijs zal "stijgen" met het verwachte rendement. Maar de drift zal worden geschokt (toegevoegd of afgetrokken) door een willekeurige schok. De willekeurige schok is de standaardafwijking "s" vermenigvuldigd met een willekeurig getal "e". Dit is gewoon een manier om de standaarddeviatie op te schalen.

Dat is de essentie van GBM, zoals geïllustreerd in figuur 1. De aandelenprijs volgt een reeks stappen, waarbij elke stap een afwijking plus of min een willekeurige schok is (zelf een functie van de standaarddeviatie van het aandeel):

Figuur 1

2. Genereer willekeurige proeven

Gewapend met een modelspecificatie gaan we vervolgens willekeurige proeven uitvoeren. Ter illustratie hebben we Microsoft Excel gebruikt om 40 proeven uit te voeren. Houd er rekening mee dat dit een onrealistisch kleine steekproef is; de meeste simulaties of "sims" voeren minstens enkele duizenden proeven uit.

Laten we in dit geval aannemen dat de voorraad begint op dag nul met een prijs van $ 10. Hier is een grafiek van de uitkomst waarbij elke tijdstap (of interval) één dag is en de serie tien dagen duurt (samengevat: veertig proeven met dagelijkse stappen over tien dagen):

Afbeelding 2: Geometrische Brownse beweging

Het resultaat is veertig gesimuleerde aandelenkoersen na 10 dagen. Niets is toevallig onder $ 9 gedaald en één boven $ 11.

3. Verwerk de uitvoer

De simulatie heeft een verdeling van hypothetische toekomstige resultaten opgeleverd. We kunnen verschillende dingen doen met de output.

Als we bijvoorbeeld de VaR met 95% betrouwbaarheid willen schatten, hoeven we alleen de uitkomst op de achtendertigste plaats te vinden (de op twee na slechtste uitkomst). Dat komt omdat 2/40 gelijk is aan 5%, dus de twee slechtste resultaten zijn in de laagste 5%.

Als we de geïllustreerde resultaten in bins stapelen (elke bin is een derde van $ 1, dus drie bins dekken het interval van $ 9 tot $ 10), krijgen we het volgende histogram:

figuur 3

Vergeet niet dat ons GBM-model normaliteit veronderstelt; koersrendementen worden normaal verdeeld met het verwachte rendement (gemiddelde) "m" en standaarddeviatie "s." Interessant genoeg ziet ons histogram er niet normaal uit. In feite zal het met meer beproevingen niet neigen naar normaliteit. In plaats daarvan neigt het naar een lognormale verdeling: een scherpe daling links van het gemiddelde en een sterk scheefstaande "lange staart" rechts van het gemiddelde.

Dit leidt vaak tot een potentieel verwarrende dynamiek voor beginnende studenten:

• Prijsrendementen worden normaal verdeeld.
• Prijsniveaus worden log-normaal verdeeld.

Denk er eens zo over na: een aandeel kan 5% of 10% stijgen of dalen, maar na een bepaalde periode kan de aandelenprijs niet negatief zijn. Verder hebben prijsstijgingen aan de bovenkant een verergerend effect, terwijl prijsverlagingen aan de onderkant de basis verminderen: verlies 10% en u blijft de volgende keer minder verliezen.

Hier is een grafiek van de lognormale verdeling bovenop onze geïllustreerde veronderstellingen (bijv. Startprijs van $ 10):

Figuur 4

Het komt neer op

Een Monte Carlo-simulatie past een geselecteerd model (dat het gedrag van een instrument specificeert) toe op een grote reeks willekeurige proeven in een poging om een ​​plausibele set van mogelijke toekomstige resultaten te produceren. Wat betreft het simuleren van aandelenkoersen, is het meest voorkomende model geometrische Browniaanse beweging (GBM). GBM gaat ervan uit dat een constante drift gepaard gaat met willekeurige schokken. Hoewel de periode-rendementen onder GBM normaal worden verdeeld, worden de resulterende prijsniveaus voor meerdere perioden (bijvoorbeeld tien dagen) lognormaal verdeeld.