Macaulay-duur versus gemodificeerde duur

Macaulay duration en modified duration worden voornamelijk gebruikt om de looptijden van obligaties te berekenen. De Macaulay-duur berekent de gewogen gemiddelde tijd voordat een obligatiehouder de kasstromen van de obligatie zou ontvangen. Omgekeerd meet de modified duration de koersgevoeligheid van een obligatie wanneer het rendement op de vervaldag verandert.

De Macaulay-duur

De Macaulay-duur wordt berekend door de tijdsperiode te vermenigvuldigen met de periodieke couponbetaling en de resulterende waarde te delen door 1 plus het periodieke rendement verhoogd tot de vervaldatum. Vervolgens wordt de waarde voor elke periode berekend en bij elkaar opgeteld. Vervolgens wordt de resulterende waarde opgeteld bij het totale aantal perioden vermenigvuldigd met de nominale waarde, gedeeld door 1, plus de periodieke opbrengst verhoogd tot het totale aantal perioden. Vervolgens wordt de waarde gedeeld door de huidige obligatiekoers.

Macaulay Duration = (∑t = 1nt ∗ C (1 + y) t + n ∗ M (1 + y) n) Huidige obligatie prijs: C = periodieke couponbetaling = periodieke opbrengst M = looptijd looptijd van de obligatie = obligatieduur in punten \ begin {uitgelijnd} & \ text {Macaulay Duration} = \ frac {\ left (\ sum_ {t = 1} ^ {n} {\ frac {t * C} {\ left (1 + y \ right) ^ t}} + \ frac {n * M} {\ left (1 + y \ right) ^ n} \ right)} {\ text {Huidige obligatieprijs}} \\ & \ textbf {where:} \\ & C = \ text {periodieke couponbetaling} \\ & y = \ text {periodieke opbrengst} \\ & M = \ text {de vervaldatum van de obligatie} \\ & n = \ text {obligatieduur in periodes} \\ \ einde {uitgelijnd} Macaulay Duration = Huidige obligatieprijs (∑t = 1n (1 + y) tt ∗ C + (1 + y) nn ∗ M) waarbij: C = periodieke couponbetaling = periodieke opbrengst M = looptijd van de obligatie waarde = duur van obligaties in periodes

De prijs van een obligatie wordt berekend door de kasstroom te vermenigvuldigen met 1, min 1, gedeeld door 1, plus het rendement tot de vervaldatum, verhoogd tot het aantal perioden gedeeld door het vereiste rendement. De resulterende waarde wordt opgeteld bij de nominale waarde, of vervaldatum, van de obligatie gedeeld door 1, plus het rendement tot de vervaldatum verhoogd tot het aantal totale aantal periodes.

Neem bijvoorbeeld de Macaulay-looptijd van een vijfjaars obligatie met een looptijdwaarde van $ 5.000 en een couponrente van 6% is 4, 87 jaar ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1 + 0.06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0.06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0.06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0.06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0.06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0.06) ^ -5) / (0.06)) + (5000 / (1 + 0.06) ^ 5)).

De gemodificeerde duration voor deze obligatie, met een rendement tot einde looptijd van 6% voor één couponperiode, is 4, 59 jaar (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1). Daarom, als het rendement tot einde looptijd stijgt van 6% tot 7%, de de looptijd van de obligatie zal met 0, 28 jaar afnemen (4, 87 - 4, 59).

De formule om de procentuele verandering in de prijs van de obligatie te berekenen, is de verandering in opbrengst vermenigvuldigd met de negatieve waarde van de gemodificeerde duration vermenigvuldigd met 100%. Deze resulterende procentuele verandering in de obligatie, voor een opbrengststijging van 1%, wordt berekend -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%) te zijn.

De gewijzigde duur

Modified Duration = Macauley Duration (1 + YTMn) waarbij: YTM = opbrengst tot vervaldatum \ begin {uitgelijnd} & \ text {Modified Duration} = \ frac {\ text {Macauley Duration}} {\ left (1 + \ frac { YTM} {n} \ right)} \\ & \ textbf {where:} \\ & YTM = \ text {yield to maturity} \\ & n = \ text {aantal couponperiodes per jaar} \ einde {uitgelijnd} Gewijzigd Duur = (1 + nYTM) Macauley Duur waarbij: YTM = opbrengst tot volwassenheid

De modified duration is een aangepaste versie van de Macaulay-duration, die rekening houdt met het veranderen van rendement naar looptijden. De formule voor de modified duration is de waarde van de Macaulay-duur gedeeld door 1, plus het rendement tot de vervaldatum, gedeeld door het aantal couponperioden per jaar. De gemodificeerde duration bepaalt de veranderingen in de duration en prijs van een obligatie voor elke procentuele verandering in het rendement tot de vervaldatum.

Stel bijvoorbeeld dat een zesjarige obligatie een nominale waarde heeft van $ 1.000 en een jaarlijkse couponrente van 8%. De Macaulay-duur wordt berekend op 4, 99 jaar ((1 * 80) / (1 + 0, 08) + (2 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0, 08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).

De gemodificeerde duration voor deze obligatie, met een rendement op vervaldag van 8% voor één couponperiode, is 4, 62 jaar (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1). Daarom, als het rendement op vervaldatum stijgt van 8% tot 9%, de de looptijd van de obligatie zal met 0, 37 jaar afnemen (4, 99 - 4, 62).

De formule om de procentuele verandering in de prijs van de obligatie te berekenen, is de verandering in opbrengst vermenigvuldigd met de negatieve waarde van de gemodificeerde duration vermenigvuldigd met 100%. Deze resulterende procentuele verandering in de obligatie, voor een renteverhoging van 8% tot 9%, wordt berekend op -4, 62% ​​(0, 01 * - 4, 62 * 100%).

Daarom, als de rentetarieven 's nachts met 1% stijgen, zal de koers van de obligatie naar verwachting met 4, 62% ​​dalen.

De gemodificeerde duration- en renteswaps

De gemodificeerde duur kan worden verlengd om het aantal jaren te berekenen dat een renteswap zou vergen om de betaalde prijs voor de swap terug te betalen. Een renteswap is de uitwisseling van een reeks kasstromen voor een andere en is gebaseerd op rentespecificaties tussen de partijen.

De aangepaste duur wordt berekend door de dollarwaarde van een wijziging van één basispunt van een renteswapbeen of reeks kasstromen te delen door de contante waarde van de reeks kasstromen. De waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met 10.000. De gewijzigde duur voor elke reeks kasstromen kan ook worden berekend door de dollarwaarde van een basispuntverandering van de reeks kasstromen te delen door de notionele waarde plus de marktwaarde. De fractie wordt vervolgens vermenigvuldigd met 10.000.

De gewijzigde duur van beide benen moet worden berekend om de gewijzigde duur van de renteswap te berekenen. Het verschil tussen de twee gewijzigde looptijden is de gewijzigde duur van de renteswap. De formule voor de gewijzigde duur van de renteswap is de gewijzigde duur van het ontvangende deel minus de gewijzigde duur van het betalende deel.

Neem bijvoorbeeld aan dat bank A en bank B een renteswap aangaan. De gewijzigde duur van het ontvangende deel van een swap wordt berekend als negen jaar en de gewijzigde duur van het betalende deel wordt berekend als vijf jaar. De resulterende gewijzigde duur van de renteswap is vier jaar (9 jaar - 5 jaar).

De Macaulay-duur en de gemodificeerde duur vergelijken

Aangezien de Macaulay-duur de gewogen gemiddelde tijd meet waarop een belegger een obligatie moet houden totdat de contante waarde van de kasstromen van de obligatie gelijk is aan het bedrag dat voor de obligatie is betaald, wordt het vaak gebruikt door obligatiemanagers die het risico van de obligatieportefeuille willen beheersen met immunisatiestrategieën .

De gemodificeerde duration daarentegen geeft aan hoeveel de duration verandert voor elke procentuele verandering in het rendement, terwijl wordt gemeten hoeveel een verandering in de rentetarieven de prijs van een obligatie beïnvloedt. Zo kan de modified duration een risicomaatstaf zijn voor obligatiebeleggers door bij benadering te bepalen hoeveel de prijs van een obligatie zou kunnen dalen bij een stijging van de rentetarieven. Het is belangrijk op te merken dat obligatiekoersen en rentetarieven een omgekeerde relatie met elkaar hebben.