Handelen met Gaussiaanse statistische modellen

Carl Friedrich Gauss was een wonderkind en een briljante wiskundige die in de vroege 19e eeuw leefde. Gauss 'bijdragen omvatten kwadratische vergelijkingen, kleinste kwadratenanalyse en de normale verdeling. Hoewel de normale verdeling al in het midden van de 17e eeuw bekend was uit de geschriften van Abraham de Moivre, wordt Gauss vaak geprezen voor de ontdekking, en de normale verdeling wordt vaak de Gaussiaanse distributie genoemd. Veel van de statistische studie was afkomstig van Gauss en zijn modellen worden onder andere toegepast op financiële markten, prijzen en waarschijnlijkheden.

Moderne terminologie definieert de normale verdeling als de klokcurve met gemiddelde en variantieparameters. Dit artikel legt de belcurve uit en past deze toe op de handel.

Meetcentrum: gemiddelde, mediaan en modus

Verdelingen kunnen worden gekenmerkt door hun gemiddelde, mediaan en modus. Het gemiddelde wordt verkregen door alle scores op te tellen en te delen door het aantal scores. De mediaan wordt verkregen door de twee middelste getallen van een geordende steekproef toe te voegen en te delen door twee (in het geval van een even aantal gegevenswaarden), of gewoon door de middelste waarde te nemen (in het geval van een oneven aantal gegevenswaarden). De modus is de meest voorkomende van de getallen in een verdeling van waarden. Elk van deze drie getallen meet het middelpunt van een verdeling. Voor de normale verdeling is het gemiddelde echter de voorkeursmaat.

Dispersie meten: standaardafwijking en variantie

Als de waarden een normale (Gaussiaanse) verdeling volgen, valt 68 procent van alle scores binnen -1 en +1 standaarddeviaties (van het gemiddelde), 95 procent valt binnen twee standaarddeviaties en 99, 7 procent valt binnen drie standaarddeviaties.

Standaarddeviatie is de vierkantswortel van de variantie, die de spreiding van een verdeling meet. (Voor meer informatie over statistische analyse, lees Volatiliteitsmaatregelen .)

Het Gaussiaanse model toepassen op handelen

Standaarddeviatie meet de volatiliteit en bepaalt welke prestaties van het rendement kunnen worden verwacht. Kleinere standaardafwijkingen houden minder risico in voor een investering, terwijl hogere standaardafwijkingen een hoger risico inhouden. Handelaren kunnen slotkoersen meten als het verschil met het gemiddelde; een groter verschil tussen de werkelijke waarde en het gemiddelde duidt op een hogere standaardafwijking en dus op meer volatiliteit.

Prijzen die ver van het gemiddelde afwijken, kunnen teruggaan naar het gemiddelde, zodat handelaren kunnen profiteren van deze situaties, en prijzen die in een klein bereik handelen, kunnen klaar zijn voor een uitbraak. De vaak gebruikte technische indicator voor transacties met standaarddeviatie is de Bollinger Band® omdat deze een maat is voor de volatiliteit die is ingesteld op twee standaarddeviaties voor bovenste en onderste banden met een 21-daags voortschrijdend gemiddelde.

De Gaussiaanse distributie markeerde het begin van een begrip van marktkansen. Het leidde later tot tijdreeksen, Garch-modellen en meer skew-toepassingen zoals de Volatility Smile.

Scheef en Kurtosis

Gegevens volgen meestal niet het precieze belcurvepatroon van de normale verdeling. Scheefheid en kurtosis zijn metingen van hoe gegevens afwijken van dit ideale patroon. Scheefheid meet de asymmetrie van de staarten van de verdeling: een positieve scheefheid heeft gegevens die verder afwijken aan de hoge kant van het gemiddelde dan aan de lage kant; het tegenovergestelde is waar voor negatieve scheeftrekking. (Voor verwant lezen, zie Stock Market Risk: Wagging the Tails .)

Terwijl scheefheid verband houdt met de onbalans van de staarten, houdt kurtosis zich bezig met het uiteinde van de staarten, ongeacht of deze boven of onder het gemiddelde liggen. Een leptokurtische verdeling heeft positieve overmatige kurtosis en heeft gegevenswaarden die extremer zijn (in beide staart) dan voorspeld door de normale verdeling (bijvoorbeeld vijf of meer standaardafwijkingen van het gemiddelde). Een negatieve overmaat kurtosis, aangeduid als platykurtosis, wordt gekenmerkt door een verdeling met een extreem waardekarakter dat minder extreem is dan die van de normale verdeling.

Als een toepassing van scheefheid en kurtosis, vereist de analyse van vastrentende effecten een zorgvuldige statistische analyse om de volatiliteit van een portefeuille te bepalen wanneer de rentetarieven variëren. Modellen die de richting van bewegingen voorspellen, moeten rekening houden met scheefheid en kurtosis om de prestaties van een obligatieportefeuille te voorspellen. Deze statistische concepten kunnen verder worden toegepast om prijsbewegingen te bepalen voor veel andere financiële instrumenten zoals aandelen, opties en valutaparen. Scheefheidscoëfficiënten worden gebruikt om optieprijzen te meten door de impliciete volatiliteit te meten.