Black Scholes Model
Het Black Scholes-model, ook bekend als het Black-Scholes-Merton (BSM) -model, is een wiskundig model voor de prijsbepaling van een optiecontract. Het model schat met name de variatie in de tijd van financiële instrumenten zoals aandelen, en het gebruik van de impliciete volatiliteit van de onderliggende waarde leidt tot de prijs van een calloptie.
Belangrijkste leerpunten
- Het Black-Scholes Merton (BSM) -model is een differentiaalvergelijking die wordt gebruikt om optieprijzen op te lossen.
- Het model won de Nobelprijs voor economie.
- Het standaard BSM-model wordt alleen gebruikt om Europese opties te prijzen en houdt geen rekening met het feit dat Amerikaanse opties vóór de vervaldatum kunnen worden uitgeoefend.
De basis van het Black Scholes-model
Het model veronderstelt dat de prijs van zwaar verhandelde activa een geometrische Brownse beweging volgt met constante drift en volatiliteit. Wanneer het op een aandelenoptie wordt toegepast, neemt het model de constante koersvariatie van het aandeel, de tijdwaarde van geld, de uitoefenprijs van de optie en de tijd tot het verstrijken van de optie op.
Ook wel Black-Scholes-Merton genoemd, het was het eerste veelgebruikte model voor optieprijzen. Het wordt gebruikt om de theoretische waarde van opties te berekenen met behulp van huidige aandelenkoersen, verwachte dividenden, de uitoefenprijs van de optie, verwachte rentetarieven, tijd tot vervaldatum en verwachte volatiliteit.
De formule, ontwikkeld door drie economen - Fischer Black, Myron Scholes en Robert Merton - is misschien wel 's werelds meest bekende prijsmodel voor opties. Het werd geïntroduceerd in hun paper uit 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", gepubliceerd in het Journal of Political Economy . Black stierf twee jaar voordat Scholes en Merton de 1997 Nobelprijs voor de economie ontvingen voor hun werk bij het vinden van een nieuwe methode om de waarde van derivaten te bepalen (de Nobelprijs wordt niet postuum toegekend; de Nobelprijscommissie erkende echter de rol van Black in de Black-Scholes-model).
Het Black-Scholes-model maakt bepaalde veronderstellingen:
- De optie is Europees en kan alleen worden uitgeoefend bij het vervallen.
- Tijdens de looptijd van de optie worden geen dividenden uitgekeerd.
- Markten zijn efficiënt (dwz dat marktbewegingen niet kunnen worden voorspeld).
- Er zijn geen transactiekosten verbonden aan het kopen van de optie.
- De risicovrije rente en volatiliteit van de onderliggende waarde zijn bekend en constant.
- Het rendement op het onderliggende wordt normaal verdeeld.
Hoewel het originele Black-Scholes-model geen rekening hield met de effecten van dividenden die werden uitgekeerd tijdens de looptijd van de optie, wordt het model vaak aangepast om dividenden te verantwoorden door de ex-dividend datumwaarde van de onderliggende aandelen te bepalen.
De Black Scholes-formule
De wiskunde in de formule is ingewikkeld en kan intimiderend zijn. Gelukkig hoef je de wiskunde niet te kennen of zelfs te begrijpen om Black-Scholes-modellering in je eigen strategieën te gebruiken. Optiehandelaren hebben toegang tot een verscheidenheid aan online optiecalculators, en veel van de huidige handelsplatformen beschikken over robuuste optiesanalysetools, waaronder indicatoren en spreadsheets die de berekeningen uitvoeren en de prijsopties voor opties uitvoeren.
De Black Scholes-calloptieformule wordt berekend door de aandelenprijs te vermenigvuldigen met de cumulatieve standaard normale kansverdelingsfunctie. Daarna wordt de netto contante waarde (NPV) van de uitoefenprijs vermenigvuldigd met de cumulatieve standaard normale verdeling afgetrokken van de resulterende waarde van de vorige berekening.
In wiskundige notatie:
C = StN (d1) −Ke − rtN (d2) waarbij: d1 = lnStK + (r + σv22) tσs tandd2 = d1 − σs twhere: C = OproepoptieprijzenS = Huidige voorraad (of andere onderliggende) prijsK = Stakingsprijs = Risicovrije rentetaret = tijd tot vervaldatum N = een normale verdeling \ begin {uitgelijnd} & C = S_t N (d _1) - K e ^ {- rt} N (d _2) \\ & \ textbf {waar:} \\ & d_1 = \ frac {ln \ frac {S_t} {K} + (r + \ frac {\ sigma ^ {2} _v} {2}) \ t} {\ sigma_s \ \ sqrt {t}} \\ & \ text {en} \\ & d_2 = d _1 - \ sigma_s \ \ sqrt {t} \\ & \ textbf {waar:} \\ & C = \ text {Call optie prijs} \\ & S = \ text {Huidige voorraad (of andere onderliggende) prijs} \\ & K = \ text {Stakingsprijs} \\ & r = \ text {Risicovrije rentevoet} \\ & t = \ text {Tijd tot vervaldatum} \\ & N = \ text {Een normale verdeling} \ \ \ end {uitgelijnd} C = St N (d1) −Ke − rtN (d2) waar: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t end2 = d1 −σs t waarbij: C = Calloptieprijzen S = Huidige aandelenkoers (of andere onderliggende) prijsK = Stakingsprijs = Risicovrije rentetaret = tijd tot vervaldatum N = een normale verdeling
01:33Black-Scholes Model
Wat zegt het Black Scholes-model?
Het Black Scholes-model is een van de belangrijkste concepten in de moderne financiële theorie. Het werd ontwikkeld in 1973 door Fischer Black, Robert Merton en Myron Scholes en wordt nog steeds veel gebruikt. Het wordt beschouwd als een van de beste manieren om eerlijke prijzen van opties te bepalen. Het Black Scholes-model vereist vijf invoervariabelen: de uitoefenprijs van een optie, de huidige aandelenkoers, de tijd tot vervaldatum, de risicovrije rente en de volatiliteit.
Het model gaat ervan uit dat aandelenkoersen een lognormale verdeling volgen, omdat activaprijzen niet negatief kunnen zijn (ze worden begrensd door nul). Dit wordt ook een Gaussiaanse distributie genoemd. Vaak wordt waargenomen dat activaprijzen een significante juiste scheefheid en enige mate van kurtosis (dikke staarten) hebben. Dit betekent dat neerwaartse bewegingen met een hoog risico vaker op de markt voorkomen dan een normale verdeling voorspelt.
De veronderstelling van lognormale onderliggende activaprijzen zou dus moeten aantonen dat geïmpliceerde volatiliteiten voor elke uitoefenprijs vergelijkbaar zijn volgens het Black-Scholes-model. Sinds de marktcrash van 1987 zijn de impliciete volatiliteit voor de geldopties echter lager dan die verder weg van het geld of ver in het geld. De reden voor dit fenomeen is dat de markt een hogere waarschijnlijkheid van een hoge volatiliteit naar de onderkant van de markten prijst.
Dit heeft geleid tot de aanwezigheid van de volatiliteitsscheve. Wanneer de impliciete volatiliteiten voor opties met dezelfde vervaldatum in kaart worden gebracht in een grafiek, ziet u een glimlach of scheefvorm. Het Black-Scholes-model is dus niet efficiënt voor het berekenen van impliciete volatiliteit.
Beperkingen van het Black Scholes-model
Zoals eerder vermeld, wordt het Black Scholes-model alleen gebruikt om Europese opties te prijzen en houdt het geen rekening met het feit dat Amerikaanse opties vóór de vervaldatum kunnen worden uitgeoefend. Bovendien gaat het model ervan uit dat dividenden en risicovrije tarieven constant zijn, maar dit is misschien niet waar in de werkelijkheid. Het model gaat er ook vanuit dat de volatiliteit constant blijft gedurende de levensduur van de optie, wat niet het geval is omdat de volatiliteit fluctueert met het niveau van vraag en aanbod.
Bovendien gaat het model ervan uit dat er geen transactiekosten of belastingen zijn; dat de risicovrije rentevoet constant is voor alle looptijden; dat short selling van effecten met gebruik van opbrengsten is toegestaan; en dat er geen risicovrije arbitragemogelijkheden zijn. Deze veronderstellingen kunnen leiden tot prijzen die afwijken van de echte wereld waar deze factoren aanwezig zijn.