Duur en convexiteit om het obligatierisico te meten

Duur en convexiteit zijn twee instrumenten die worden gebruikt om de risicoblootstelling van vastrentende beleggingen te beheren. De duur meet de gevoeligheid van de obligatie voor rentewijzigingen. Convexiteit heeft betrekking op de interactie tussen de prijs van een obligatie en het rendement ervan wanneer deze veranderingen in rentetarieven ervaart.

Met couponobligaties vertrouwen beleggers op een maatstaf die bekend staat als duration om de prijsgevoeligheid van een obligatie voor veranderingen in rentetarieven te meten. Omdat een couponobligatie tijdens zijn levensduur een reeks betalingen verricht, hebben beleggers met een vast inkomen manieren nodig om de gemiddelde looptijd van de beloofde kasstroom van een obligatie te meten, om te dienen als een samenvattende statistiek van de effectieve looptijd van de obligatie. De duration bereikt dit, waardoor vastrentende beleggers de onzekerheid effectiever kunnen inschatten bij het beheer van hun portefeuilles.

Belangrijkste leerpunten

• Bij couponobligaties vertrouwen beleggers op een maatstaf die 'duration' wordt genoemd om de prijsgevoeligheid van een obligatie voor veranderingen in rentetarieven te meten.
• Met behulp van een gap management tool kunnen banken de looptijden van activa en passiva vergelijken, waardoor hun algehele positie effectief wordt beschermd tegen rentebewegingen.

Duur van een obligatie

In 1938 noemde de Canadese econoom Frederick Robertson Macaulay het concept van de effectieve looptijd de 'looptijd' van de obligatie. Daarbij suggereerde hij dat deze looptijd wordt berekend als het gewogen gemiddelde van de vervaltijden van elke coupon of hoofdbetaling door de obligatie. De duurformule van Macaulay is als volgt:

D = ∑i = 1Tt ∗ C (1 + r) t + T ∗ F (1 + r) t∑i = 1TC (1 + r) t + F (1 + r) twhere: D = MacAulay-duur van de obligatie = het aantal perioden tot de vervaldagi = de ie periode C = de periodieke couponbetalingr = het periodieke rendement tot de vervaldatum F = de nominale waarde op de vervaldag \ begin {uitgelijnd} & D = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {t * C} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {T * F} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} {\ sum_ {i = 1} ^ T {\ frac {C} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} + \ frac {F} {\ left (1 + r \ right) ^ t}} \\ \ textbf {where:} \\ & D = \ text {De MacAulay-duur van de obligatie} \\ & T = \ text {het aantal perioden tot de vervaldatum} \\ & i = \ text {the} i ^ {th} \ text {tijdsperiode} \\ & C = \ text {de periodieke couponbetaling} \\ & r = \ text {het periodieke rendement tot de vervaldag} \\ & F = \ text {de nominale waarde op de vervaldag} \\ \ einde {uitgelijnd} waarbij: D = ∑i = 1T (1 + r) tC + (1 + r) tF ∑i = 1T (1 + r) tt ∗ C + (1 + r) tT ∗ F D = MacAulay-duur van de obligatie = het nummer van perioden tot de vervaldatumi = de ie periode C = de periodieke couponbetalingr = het periodieke rendement tot de vervaldatum F = de nominale waarde op de vervaldag ity

Duur in vastrentend beheer

Duur is van cruciaal belang voor het beheer van vastrentende portefeuilles, om de volgende redenen:

1. Het is een eenvoudige samenvattende statistiek van de effectieve gemiddelde looptijd van een portefeuille.
2. Het is een essentieel hulpmiddel bij het immuniseren van portefeuilles tegen renterisico.
3. Het schat de rentegevoeligheid van een portefeuille.

De duurstatistiek heeft de volgende eigenschappen:

• De looptijd van een nulcouponobligatie is gelijk aan de looptijd.
• Als de looptijd constant blijft, is de looptijd van een obligatie lager wanneer de couponrente hoger is, vanwege het effect van vroege hogere couponbetalingen.
• Als de couponrente constant wordt gehouden, neemt de looptijd van een obligatie doorgaans toe met de tijd tot het einde van de looptijd. Maar er zijn uitzonderingen, net als bij instrumenten zoals deep-discount-obligaties, waarbij de looptijd kan dalen met stijgingen van looptijden.
• Als andere factoren constant worden gehouden, is de looptijd van couponobligaties hoger wanneer de rendementen van de obligaties lager zijn. Voor obligaties met nulcoupon is de duration echter gelijk aan de tijd tot de vervaldatum, ongeacht het rendement tot de vervaldatum.
• De duur van de niveau-eeuwigheid is (1 + y) / y. Bij een rendement van 10% is de duur van de eeuwigheid die jaarlijks $ 100 betaalt, bijvoorbeeld gelijk aan 1, 10 / 0, 10 = 11 jaar. Bij een rendement van 8% is dit echter 1, 08 / 0, 08 = 13, 5 jaar. Dit principe maakt duidelijk dat looptijd en looptijd sterk kunnen verschillen. Een voorbeeld: de looptijd van de eeuwigheid is oneindig, terwijl het instrument met een rendement van 10% slechts 11 jaar duurt. De contante waarde gewogen cashflow vroeg in het leven van de eeuwigheid domineert de berekening van de duur. (Lees voor meer informatie over portfoliobeheer Mechanismen voor aandelenportefeuillebeheer en Voorbereiding op een carrière als portefeuillemanager .)

Duur voor gap management

Veel banken vertonen mismatches tussen looptijden van activa en passiva. Bankverplichtingen, die voornamelijk de aan klanten verschuldigde deposito's zijn, zijn over het algemeen kortlopend van aard, met statistieken over een korte looptijd. De activa van een bank omvatten daarentegen voornamelijk uitstaande zakelijke en consumentenleningen of hypotheken. Deze activa zijn meestal van langere duur en hun waarden zijn gevoeliger voor renteschommelingen. In perioden waarin de rentetarieven onverwacht stijgen, kunnen banken een drastische daling van het vermogen ondergaan als hun activa verder in waarde dalen dan hun verplichtingen.

Een techniek genaamd gap management, ontwikkeld in de late jaren zeventig en vroege jaren tachtig, is een veelgebruikt instrument voor risicobeheer, waarbij banken proberen de "kloof" tussen de looptijd van activa en passiva te beperken. Het hiaatbeheer is sterk afhankelijk van ARM's met instelbare rente, als belangrijke componenten bij het verkorten van de looptijd van portefeuilles van bankactiva. In tegenstelling tot conventionele hypotheken, dalen ARM's niet in waarde wanneer de marktrente stijgt, omdat de tarieven die ze betalen zijn gekoppeld aan de huidige rentevoet.

Aan de andere kant van de balans dient de introductie van langerlopende bankdepositocertificaten (CD's) met vaste looptijden tot verlenging van de looptijd van bankverplichtingen, wat eveneens bijdraagt ​​tot het verkleinen van de duration gap. (Meer informatie over financiële hiaten in De kloof spelen .)

Inzicht in gap management

Banken maken gebruik van gap management om de looptijden van activa en passiva te vergelijken, waardoor hun algehele positie effectief wordt beschermd tegen rentebewegingen. In theorie zijn de activa en passiva van een bank ongeveer even groot. Daarom, als hun looptijden ook gelijk zijn, zal elke verandering in rentetarieven de waarde van activa en passiva in dezelfde mate beïnvloeden, en rentewijzigingen zouden bijgevolg weinig of geen definitief effect hebben op het vermogen. Daarom vereist netto-waarde-immunisatie een portfolioduur of gap van nul. (Lees voor meer informatie over bankactiva en -verplichtingen de financiële overzichten van een bank analyseren .)

Instellingen met toekomstige vaste verplichtingen, zoals pensioenfondsen en verzekeringsmaatschappijen, onderscheiden zich van banken doordat zij opereren met het oog op toekomstige verplichtingen. Pensioenfondsen zijn bijvoorbeeld verplicht voldoende middelen aan te houden om werknemers bij pensionering een inkomstenstroom te verschaffen. Naarmate de rentetarieven fluctueren, veranderen ook de waarde van de activa die door het fonds worden gehouden en de snelheid waarmee deze activa inkomsten genereren. Daarom zullen portefeuillebeheerders mogelijk de toekomstige geaccumuleerde waarde van het fonds op een bepaalde doeldatum willen beschermen (immuniseren) tegen rentebewegingen. Met andere woorden, immunisatie beschermt activa en passiva die overeenkomen met de looptijd, zodat een bank haar verplichtingen kan nakomen, ongeacht rentebewegingen. (Lees meer over de verplichtingen van pensioenfondsen in Analyse van het pensioenrisico .)

Convexiteit in vastrentend beheer

Helaas heeft de duur beperkingen bij gebruik als een maat voor de rentegevoeligheid. Terwijl de statistiek een lineair verband tussen prijs- en opbrengstveranderingen in obligaties berekent, is de relatie tussen de prijs- en opbrengstveranderingen in werkelijkheid convex.

In figuur 1 geeft de gebogen lijn de prijsverandering weer, gegeven een verandering in de opbrengsten. De rechte lijn, die de curve raakt, vertegenwoordigt de geschatte prijsverandering, via de duurstatistiek. Het gearceerde gebied onthult het verschil tussen de geschatte duur en de werkelijke prijsbeweging. Zoals aangegeven, hoe groter de renteverandering, hoe groter de fout bij het schatten van de prijsverandering van de obligatie.

Figuur 1

Convexiteit, een maat voor de kromming van de veranderingen in de prijs van een obligatie, in relatie tot veranderingen in rentetarieven, pakt deze fout aan, door de verandering in duur te meten, aangezien rentetarieven fluctueren. De formule is als volgt:

C = d2 (B (r)) B ∗ d ∗ r2waar: C = convexiteit B = de obligatieprijs = de beoordeelde rente = duration \ begin {uitgelijnd} & C = \ frac {d ^ 2 \ left (B \ left (r \ right) \ right)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {where:} \\ & C = \ text {convexiteit} \\ & B = \ text {de obligatieprijs} \\ & r = \ tekst {de rentevoet} \\ & d = \ text {duur} \\ \ end {uitgelijnd} C = B ∗ d ∗ r2d2 (B (r)) waar: C = convexiteitB = de obligatieprijs = de beoordeelde rente = duration

In het algemeen geldt dat hoe hoger de coupon, hoe lager de convexiteit, omdat een obligatie van 5% gevoeliger is voor rentewijzigingen dan een obligatie van 10%. Vanwege de call-functie zullen opvraagbare obligaties een negatieve convexiteit vertonen als de opbrengsten te laag worden, wat betekent dat de duur zal afnemen wanneer de opbrengsten dalen. Nulcouponobligaties hebben de hoogste convexiteit, waarbij relaties alleen geldig zijn wanneer de vergeleken obligaties dezelfde looptijd en opbrengsten hebben tot de vervaldatum. Met nadruk: een hoge convexiteitsobligatie is gevoeliger voor veranderingen in rentetarieven en zou bijgevolg grotere prijsschommelingen moeten meemaken wanneer de rentetarieven bewegen.

Het tegenovergestelde geldt voor obligaties met een lage convexiteit, waarvan de prijzen niet zo veel fluctueren als de rentetarieven veranderen. Wanneer deze wordt uitgezet op een tweedimensionale plot, zou deze relatie een lang hellende U-vorm moeten genereren (vandaar de term "convex").

Obligaties met een lage coupon en nulcoupon, die doorgaans een lagere rente hebben, vertonen de hoogste renteschommeling. In technische termen betekent dit dat de gewijzigde looptijd van de obligatie een grotere aanpassing vereist om gelijke tred te houden met de hogere prijsverandering na rentebewegingen. Lagere couponrentes leiden tot lagere opbrengsten en lagere opbrengsten leiden tot hogere convexiteitsgraden.

(Lees voor meer informatie over enkele risico's die verband houden met opeisbare en andere obligaties Belfuncties: raak niet overrompeld en bedrijfsobligaties: een inleiding tot kredietrisico .)

Het komt neer op

Steeds veranderende rentetarieven zorgen voor onzekerheid bij het beleggen in vastrentende waarden. Duur en convexiteit laten beleggers deze onzekerheid kwantificeren, waardoor ze hun vastrentende portefeuilles kunnen beheren.

Voor meer informatie over beleggen in vastrentende waarden, zie De moderne portefeuille met vastrentende waarden creëren en fouten bij het kopen van gewone obligaties .