Optimaliseer uw portfolio met normale distributie

De normale verdeling is de kansverdeling die al zijn waarden op een symmetrische manier plot met de meeste resultaten rond het gemiddelde van de kans.

Normale (Bell Curve) verdeling

Gegevenssets (zoals de lengte van 100 mensen, cijfers verkregen door 45 leerlingen in een klas, enz.) Hebben meestal veel waarden op hetzelfde gegevenspunt of binnen hetzelfde bereik. Deze verdeling van gegevenspunten wordt de normale of belcurve-verdeling genoemd.

In een groep van 100 personen kan 10 bijvoorbeeld minder dan 5 voet lang zijn, 65 kan tussen 5 en 5, 5 voet staan ​​en 25 kan meer dan 5, 5 voet zijn. Deze bereikgebonden verdeling kan als volgt worden uitgezet:

Evenzo kunnen gegevenspunten die in grafieken zijn uitgezet voor een gegeven gegevensverzameling lijken op verschillende soorten distributies. Drie van de meest voorkomende zijn links uitgelijnde, rechts uitgelijnde en door elkaar gegooide verdelingen:

Let op de rode trendlijn in elk van deze grafieken. Dit geeft ruwweg de datadistributietrend aan. De eerste, "LEFT Aligned Distribution", geeft aan dat het merendeel van de datapunten in het lagere bereik valt. In de tweede grafiek 'RIGHT Aligned Distribution' valt het merendeel van de datapunten in het hogere gedeelte van het bereik, terwijl de laatste 'Jumbled Distribution' een gemengde dataset vertegenwoordigt zonder duidelijke trend.

Er zijn veel gevallen waarin de verdeling van gegevenspunten meestal rond een centrale waarde ligt en die grafiek een perfecte normale verdeling laat zien - aan beide zijden gelijk in evenwicht, met het hoogste aantal gegevenspunten geconcentreerd in het midden.

Hier is een perfecte, normaal verdeelde dataset:

De centrale waarde hier is 50 (die het meeste aantal gegevenspunten heeft), en de verdeling loopt uniform af naar extreme eindwaarden van 0 en 100 (die het minste aantal gegevenspunten hebben). De normale verdeling is symmetrisch rond de centrale waarde met de helft van de waarden aan elke zijde.

Veel voorbeelden uit de praktijk passen in de belcurve-verdeling:

• Gooi vele malen een eerlijke munt (zeg 100 keer of meer) en je krijgt een evenwichtige normale verdeling van kop en staart.
• Gooi een paar eerlijke dobbelstenen vele malen (zeg 100 keer of meer) en het resultaat is een evenwichtige, normale verdeling gecentreerd rond het getal 7 en gelijkmatig taps toelopend naar extreme-eindwaarden van 2 en 12.
• De lengte van individuen in een groep van aanzienlijke omvang en cijfers verkregen door mensen in een klasse volgen beide normale distributiepatronen.
• In financiën, wijzigingen in de logboekwaarden van valutakoersen, prijsindexen en aandelenkoersen worden verondersteld normaal te worden verdeeld.

Risico en rendement

Elke investering heeft twee aspecten: risico en rendement. Beleggers zoeken naar het laagst mogelijke risico voor het hoogst mogelijke rendement. De normale verdeling kwantificeert deze twee aspecten door het gemiddelde voor rendementen en standaarddeviatie voor risico. (Zie voor meer informatie "Gemiddelde variantieanalyse.")

Gemiddelde of verwachte waarde

Een bepaalde gemiddelde verandering van de prijs van een aandeel kan dagelijks 1, 5% zijn - wat betekent dat deze gemiddeld 1, 5% hoger wordt. Deze gemiddelde waarde of verwachte waarde die het rendement aangeeft, kan worden bereikt door het gemiddelde te berekenen van een dataset die groot genoeg is en die historische dagelijkse prijsveranderingen van die voorraad bevat. Hoe hoger het gemiddelde, hoe beter.

Standaardafwijking

Standaardafwijking geeft het bedrag aan waarmee waarden gemiddeld afwijken van het gemiddelde. Hoe hoger de standaarddeviatie, hoe risicovoller de investering, omdat deze tot meer onzekerheid leidt.

Hier is een grafische weergave van hetzelfde:

Daarom maakt de grafische weergave van de normale verdeling door middel van de gemiddelde en standaarddeviatie de weergave mogelijk van zowel rendement als risico binnen een duidelijk gedefinieerd bereik.

Het helpt om te weten (en met zekerheid te zijn) dat als een gegevensset het normale distributiepatroon volgt, het gemiddelde ons in staat zal stellen te weten welk rendement we kunnen verwachten, en de standaardafwijking zal ons in staat stellen te weten dat ongeveer 68% van de waarden valt binnen 1 standaardafwijking, 95% binnen 2 standaardafwijkingen en 99% van de waarden vallen binnen 3 standaardafwijkingen. Een gegevensset met een gemiddelde van 1, 5 en een standaarddeviatie van 1 is veel risicovoller dan een andere gegevensset met een gemiddelde van 1, 5 en een standaarddeviatie van 0, 1.

Het kennen van deze waarden voor elk geselecteerd activum (dat wil zeggen aandelen, obligaties en fondsen) zal een belegger bewust maken van de verwachte rendementen en risico's.

Het is eenvoudig om dit concept toe te passen en het risico en rendement van één enkel aandeel, obligatie of fonds te vertegenwoordigen. Maar kan dit worden uitgebreid tot een portefeuille met meerdere activa ">

Individuen beginnen met handelen door een enkel aandeel of obligatie te kopen of door te beleggen in een beleggingsfonds. Geleidelijk hebben ze de neiging om hun bezit te vergroten en meerdere aandelen, fondsen of andere activa te kopen, waardoor een portefeuille ontstaat. In dit incrementele scenario bouwen individuen hun portefeuilles op zonder een strategie of veel te veel nadenken. Professionele fondsbeheerders, handelaars en marktmakers volgen een systematische methode om hun portefeuille op te bouwen met behulp van een wiskundige benadering, de moderne portefeuilletheorie (MPT) genaamd, die is gebaseerd op het concept van 'normale distributie'.

Moderne portefeuilletheorie

Moderne portefeuilletheorie (MPT) biedt een systematische wiskundige benadering die gericht is op het maximaliseren van het verwachte rendement van een portefeuille voor een bepaald portefeuillerisico door de verhoudingen van verschillende activa te selecteren. Als alternatief biedt het ook om het risico voor een bepaald niveau van verwacht rendement te minimaliseren.

Om dit doel te bereiken, moeten de in de portefeuille op te nemen activa niet alleen worden geselecteerd op basis van hun eigen individuele verdienste, maar in plaats daarvan op hoe elk actief zal presteren ten opzichte van de andere activa in de portefeuille.

Kortom, MPT definieert hoe de portefeuille het best kan worden gediversifieerd voor de best mogelijke resultaten: maximaal rendement voor een aanvaardbaar risiconiveau of minimaal risico voor een gewenst rendementsniveau.

De bouwstenen

De MPT was zo'n revolutionair concept toen het werd geïntroduceerd dat zijn uitvinders een Nobelprijs wonnen. Deze theorie leverde met succes een wiskundige formule op om diversificatie in beleggen te begeleiden.

Diversificatie is een risicobeheersingstechniek, waarbij het risico 'alle eieren in één mand' wordt verwijderd door te beleggen in niet-gecorreleerde aandelen, sectoren of activaklassen. In het ideale geval zal de positieve prestatie van één actief in de portefeuille de negatieve prestatie van andere activa tenietdoen.

Om het gemiddelde rendement van de portefeuille met n verschillende activa te nemen, wordt de proportioneel gewogen combinatie van de rendementen van de samenstellende activa berekend.

Vanwege de aard van statistische berekeningen en normale verdeling, wordt het totale portfoliorendement (R _p ) berekend als:

Rp = ΣwiRiR_p = \ sum {w_iR_i} rp = Σwi Ri

De som (∑), waarbij w het evenredige gewicht is van actief i in de portefeuille, R _i is het rendement (gemiddelde) van actief i.

Het portefeuillerisico (of standaarddeviatie) is een functie van de correlaties van de opgenomen activa voor alle activaparen (ten opzichte van elkaar in het paar).

Vanwege de aard van statistische berekeningen en normale verdeling, wordt het totale portefeuillerisico (Std-dev) _p berekend als:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begin {uitgelijnd} & \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {uitgelijnd} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)]

Hier is cor-cof de correlatiecoëfficiënt tussen het rendement van activa i en j, en sqrt is de vierkantswortel.

Dit zorgt voor de relatieve prestaties van elk actief ten opzichte van het andere.

Hoewel dit wiskundig ingewikkeld lijkt, omvat het eenvoudige concept dat hier wordt toegepast niet alleen de standaardafwijkingen van individuele activa, maar ook de gerelateerde afwijkingen ten opzichte van elkaar.

Een goed voorbeeld is hier verkrijgbaar bij de Universiteit van Washington.

Een snel voorbeeld van MPT

Laten we ons, als een gedachte-experiment, voorstellen dat we een portfoliomanager zijn die kapitaal heeft gekregen en wordt belast met hoeveel kapitaal moet worden toegewezen aan twee beschikbare activa (A & B) zodat het verwachte rendement wordt gemaximaliseerd en het risico wordt verlaagd.

We hebben ook de volgende waarden beschikbaar:

Ra = 0, 175

Rb = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0.004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

Beginnend met gelijke 50-50 allocatie aan elk activum A & B, berekent de R _p 0, 115 en komt (Std-dev) _p op 0, 1323. Een eenvoudige vergelijking leert ons dat voor deze 2 activaportefeuille zowel rendement als risico halverwege zijn tussen individuele waarden van elk activum.

Ons doel is echter om het rendement van de portefeuille te verbeteren boven het gemiddelde van beide afzonderlijke activa en het risico te verminderen, zodat het lager is dan dat van de afzonderlijke activa.

Laten we nu een 1, 5 kapitaalallocatiepositie nemen in actief A en een -0, 5 kapitaalallocatiepositie in actief B. (Negatieve kapitaalallocatie betekent kortsluiting dat ontvangen aandelen en kapitaal worden gebruikt om het surplus van het andere activum met positieve kapitaalallocatie te kopen. met andere woorden, we sluiten voorraad B aan voor 0, 5 keer kapitaal en gebruiken dat geld om voorraad A te kopen voor een bedrag van 1, 5 keer kapitaal.)

Met behulp van deze waarden krijgen we R _p als 0.1604 en (Std-dev) _p als 0.4005.

Op dezelfde manier kunnen we verschillende toewijzingsgewichten blijven gebruiken voor activum A & B en komen we tot verschillende sets van Rp en (Std-dev) p. Afhankelijk van het gewenste rendement (Rp), kan men het meest acceptabele risiconiveau (std-dev) kiezen p. Als alternatief kunt u voor het gewenste risiconiveau het best beschikbare portefeuillerendement selecteren. Hoe dan ook, door dit wiskundige model van portefeuilletheorie, is het mogelijk om de doelstelling te bereiken om een ​​efficiënte portefeuille te creëren met de gewenste risico- en rendementscombinatie.

Het gebruik van geautomatiseerde hulpmiddelen stelt u in staat om gemakkelijk en soepel de best mogelijke toegewezen verhoudingen gemakkelijk te detecteren, zonder dat er lange handmatige berekeningen nodig zijn.

De efficiënte grens, het Capital Asset Pricing Model (CAPM) en de activaprijzen met behulp van MPT evolueren ook van hetzelfde normale distributiemodel en zijn een uitbreiding op MPT.

Uitdagingen voor MPT (en onderliggende normale distributie)

Helaas is geen enkel wiskundig model perfect en heeft elk model onvolkomenheden en beperkingen.

De basisaanname dat aandelenkoersrendementen de normale verdeling zelf volgen, wordt keer op keer in twijfel getrokken. Er is voldoende empirisch bewijs van gevallen waarin waarden zich niet houden aan de veronderstelde normale verdeling. Het baseren van complexe modellen op dergelijke veronderstellingen kan leiden tot resultaten met grote afwijkingen.

Als we verder ingaan op MPT, zijn de berekeningen en veronderstellingen over correlatiecoëfficiënt en covariantie die vast blijven (gebaseerd op historische gegevens) mogelijk niet noodzakelijkerwijs waar voor toekomstige verwachte waarden. Zo vertoonden de obligatie- en aandelenmarkten een perfecte correlatie op de Britse markt van 2001 tot 2004, waar het rendement van beide activa tegelijkertijd daalde. In werkelijkheid is het omgekeerde waargenomen gedurende lange historische periodes vóór 2001.

Beleggersgedrag wordt niet in aanmerking genomen in dit wiskundige model. Belastingen en transactiekosten worden verwaarloosd, ook al wordt uitgegaan van fractionele kapitaalallocatie en de mogelijkheid van shorting van activa.

In werkelijkheid kan geen van deze veronderstellingen waar zijn, wat betekent dat het gerealiseerde financiële rendement aanzienlijk kan verschillen van de verwachte winst.

Het komt neer op

Wiskundige modellen bieden een goed mechanisme om sommige variabelen te kwantificeren met enkele, traceerbare getallen. Maar vanwege de beperkingen van veronderstellingen, kunnen modellen falen.

De normale verdeling, die de basis vormt van de portefeuilletheorie, is mogelijk niet noodzakelijk van toepassing op aandelen en andere prijspatronen van financiële activa. De portefeuilletheorie zelf heeft veel veronderstellingen die kritisch moeten worden onderzocht voordat belangrijke financiële beslissingen worden genomen.