Inzicht in het Binomial Option Pricing Model

Het is een uitdaging om overeenstemming te bereiken over nauwkeurige prijzen voor elk verhandelbaar activum - daarom veranderen aandelenkoersen voortdurend. In werkelijkheid veranderen bedrijven nauwelijks hun waarderingen van dag tot dag, maar hun aandelenkoersen en waarderingen veranderen bijna elke seconde. Deze moeilijkheid om een ​​consensus te bereiken over de juiste prijsstelling voor verhandelbare activa leidt tot kortlopende arbitragemogelijkheden.

Maar veel succesvol beleggen komt neer op een simpele kwestie van de huidige waardering - wat is de juiste huidige prijs vandaag voor een verwachte toekomstige uitbetaling?

Binominal Opties Waardering

In een concurrerende markt moeten activa met identieke uitbetalingsstructuren dezelfde prijs hebben om arbitragemogelijkheden te voorkomen. Waardering van opties is een uitdagende taak geweest en prijsvariaties leiden tot arbitragemogelijkheden. Black-Scholes blijft een van de meest populaire modellen die worden gebruikt voor prijsopties, maar heeft beperkingen.

Het binomiale optie prijsmodel is een andere populaire methode die wordt gebruikt voor prijsopties.

Voorbeelden

Stel dat er een calloptie is op een bepaald aandeel met een huidige marktprijs van $ 100. De at-the-money (ATM) optie heeft een uitoefenprijs van $ 100 met een vervaltijd van één jaar. Er zijn twee handelaren, Peter en Paula, die het erover eens zijn dat de aandelenkoers naar $ 110 zal stijgen of naar $ 90 zal dalen in een jaar.

Ze zijn het eens over de verwachte prijsniveaus binnen een bepaald tijdsbestek van een jaar, maar zijn het niet eens over de waarschijnlijkheid van een op- of neerwaartse beweging. Peter gelooft dat de kans dat de koers van het aandeel naar $ 110 gaat 60% is, terwijl Paula gelooft dat het 40% is.

Op basis daarvan, wie zou bereid zijn om meer prijs te betalen voor de call-optie? Mogelijk Peter, omdat hij een hoge waarschijnlijkheid van de opgaande beweging verwacht.

Binominal Opties Berekeningen

De twee activa, waarvan de waardering afhangt, zijn de calloptie en de onderliggende aandelen. Er is een afspraak tussen de deelnemers dat de onderliggende aandelenprijs in één jaar van de huidige $ 100 naar $ 110 of $ 90 kan bewegen en er zijn geen andere prijsbewegingen mogelijk.

Als u in een arbitragevrije wereld een portefeuille moet maken die bestaat uit deze twee activa, calloptie en onderliggende aandelen, zodat ongeacht waar de onderliggende prijs naartoe gaat - $ 110 of $ 90 - het netto rendement op de portefeuille altijd hetzelfde blijft . Stel dat u 'd'-aandelen van de onderliggende en short calloptie koopt om deze portefeuille te maken.

Als de prijs naar $ 110 gaat, zijn uw aandelen $ 110 * d waard en verliest u $ 10 bij de korte uitbetaling. De netto waarde van uw portefeuille is (110d - 10).

Als de prijs daalt naar $ 90, zijn uw aandelen $ 90 * d waard en vervalt de optie waardeloos. De netto waarde van uw portefeuille is (90d).

Als u wilt dat de waarde van uw portefeuille hetzelfde blijft, ongeacht waar de onderliggende aandelenprijs naartoe gaat, dan moet uw portefeuillewaarde in beide gevallen hetzelfde blijven:

h (d) −m = l (d) waar: h = Hoogste potentiële onderliggende koers = Aantal onderliggende aandelen m = Geld verloren bij short call payoffl = Laagste potentiële onderliggende prijs \ begin {uitgelijnd} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {waar:} \\ & h = \ text {Hoogste potentiële onderliggende prijs} \\ & d = \ text {Aantal onderliggende aandelen} \\ & m = \ text {Geld verloren bij short call payoff} \\ & l = \ text {Laagste potentiële onderliggende prijs} \\ \ einde {uitgelijnd} h (d) −m = l (d) waar: h = Hoogste potentiële onderliggende koers = Aantal onderliggende aandelen m = Geld verloren bij short call payoffl = laagste potentiële onderliggende prijs

Dus als u een half aandeel koopt, ervan uitgaande dat fractionele aankopen mogelijk zijn, zult u erin slagen een portefeuille aan te maken zodat de waarde ervan in beide mogelijke staten binnen het gegeven tijdsbestek van één jaar hetzelfde blijft.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {uitgelijnd} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {uitgelijnd} 110d − 10 = 90dd = 21

Deze portfoliowaarde, aangegeven met (90d) of (110d - 10) = 45, is een jaar later. Om de huidige waarde te berekenen, kan deze worden verdisconteerd door het risicovrije rendement (uitgaande van 5%).

Huidige waarde = 90d × e (−5% × 1 jaar) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ begin {uitgelijnd} \ text {huidige waarde} & = 90d \ keer e ^ {(-5 \% \ keer 1 \ tekst {Jaar})} \\ & = 45 \ keer 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ einde {uitgelijnd} Huidige waarde = 90d × e (−5% × 1 jaar) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Aangezien de portefeuille momenteel bestaat uit ½ aandeel van het onderliggende aandeel (met een marktprijs van $ 100) en één short call, moet deze gelijk zijn aan de contante waarde.

12 × 100−1 × Oproepprijs = $ 42, 85 Oproepprijs = $ 7, 14, dwz de oproepprijs van vandaag \ begin {uitgelijnd} & \ frac {1} {2} \ keer 100 - 1 \ keer \ tekst {Oproepprijs} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Oproepprijs} = \ $ 7.14 \ text {, dwz de belprijs van vandaag} \\ \ end {uitgelijnd} 21 × 100−1 × Oproepprijs = $ 42.85 Oproepprijs = $ 7.14, ie de belprijs van vandaag

Aangezien dit is gebaseerd op de veronderstelling dat de portefeuillewaarde hetzelfde blijft, ongeacht de koers van de onderliggende koers, speelt de kans op een stijging of daling geen rol. De portefeuille blijft risicovrij, ongeacht de onderliggende koersbewegingen.

In beide gevallen (verondersteld een stijging van $ 110 en een daling van $ 90), is uw portefeuille neutraal voor het risico en verdient u het risicovrije rendement.

Beide traders, Peter en Paula, zouden daarom bereid zijn dezelfde $ 7, 14 te betalen voor deze call-optie, ondanks hun verschillende percepties van de kansen op stijgende bewegingen (60% en 40%). Hun individueel waargenomen kansen doen er niet toe bij optiewaardering.

Stel in plaats daarvan dat de individuele kansen ertoe doen, dat arbitragemogelijkheden zich mogelijk hebben voorgedaan. In de echte wereld bestaan ​​dergelijke arbitragemogelijkheden met kleine prijsverschillen en verdwijnen ze op de korte termijn.

Maar waar is de veel gehypateerde volatiliteit in al deze berekeningen, een belangrijke en gevoelige factor die de prijs van opties beïnvloedt?

De volatiliteit is al opgenomen in de aard van de probleemstelling. Uitgaande van twee (en slechts twee - vandaar de naam "binomiaal") staten van prijsniveaus ($ 110 en $ 90), is volatiliteit impliciet in deze veronderstelling en automatisch opgenomen (10% hoe dan ook in dit voorbeeld).

Black-Scholes

Maar is deze benadering correct en coherent met de algemeen gebruikte Black-Scholes-prijzen? De resultaten van de optiescalculator (met dank aan OIC) komen nauw overeen met de berekende waarde:

Helaas is de echte wereld niet zo eenvoudig als 'slechts twee staten'. De voorraad kan verschillende prijsniveaus bereiken voordat de tijd verstrijkt.

Is het mogelijk om al deze meerdere niveaus op te nemen in een binomiaal prijsmodel dat beperkt is tot slechts twee niveaus ">

Eenvoudige wiskunde

Om dit probleem en deze oplossing te generaliseren:

"X" is de huidige marktprijs van een aandeel en "X * u" en "X * d" zijn de toekomstige prijzen voor op- en neergaande bewegingen "t" jaren later. Factor "u" zal groter zijn dan één omdat deze een opwaartse beweging aangeeft en "d" tussen nul en één zal liggen. Voor het bovenstaande voorbeeld is u = 1, 1 en d = 0, 9.

De uitbetalingen van de calloptie zijn "P _omhoog " en "P _dn " voor op- en neergaande bewegingen op het moment van verlopen.

Als u een portefeuille met vandaag gekochte "s" aandelen bouwt en een korte calloptie kiest, dan na tijd "t":

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Waarde van de portefeuille in geval van een up move \ begin {uitgelijnd} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Waarde van de portefeuille in geval van een opwaartse beweging} \\ \ end {align} VUM = s × X × u − Pup waar: VUM = Waarde van de portefeuille in geval van een stijging

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Waarde van portfolio bij een neerwaartse beweging \ begin {uitgelijnd} & \ text {VDM} = s \ keer X \ keer d - P_ \ text {omlaag} \\ & \ textbf {waar:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Waarde van portfolio in geval van een neerwaartse beweging} \\ \ end {uitgelijnd} VDM = s × X × d − Pdown waar: VDM = Waarde van de portefeuille in geval van een neerwaartse beweging

Voor vergelijkbare waardering in beide gevallen van prijsbeweging:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− pup = s x x x d-Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = Het aantal aandelen dat moet worden gekocht voor = een risicovrije portefeuille \ begin {uitgelijnd} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {Het aantal aandelen dat moet worden gekocht} \\ & \ phantom {=} \ text {een risicovrije portefeuille} \\ \ end {uitgelijnd} s = X × (u − d) Pup −Pdown = Het aantal aandelen dat moet worden gekocht = een risicovrije portefeuille

De toekomstige waarde van de portefeuille aan het einde van "t" -jaren zal zijn:

In het geval van Omhoog Verplaatsen = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {uitgelijnd} \ text {In geval van Omhoog Verplaatsen} & = s \ keer X \ keer u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {align} In het geval van Omhoog Verplaatsen = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

In geval van neerwaartse beweging = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begin {uitgelijnd} \ text {In geval van neerwaartse beweging} & = s \ keer X \ keer d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {align} In het geval van Omlaag Verplaatsen = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

De huidige waarde kan worden verkregen door deze te disconteren met het risicovrije rendement:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] waarbij: PV = Present-Day Valuer = Returnrate = Tijd, in jaren \ begin {uitgelijnd} & \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { waar:} \\ & \ text {PV} = \ text {Present-Day Value} \\ & r = \ text {Return rate} \\ & t = \ text {Tijd, in jaren} \\ \ end {uitgelijnd} PV = e (−rt) × [u − dPup −Pdown × u − Pup] waar: PV = Present-Day Valuer = Retoursnelheid = Tijd, in jaren

Dit moet overeenkomen met het portefeuillebezit van "s" -aandelen tegen X-prijs, en short call-waarde "c" (het huidige bezit van (s * X - c) moet overeenkomen met deze berekening.) Oplossen voor "c" geeft het uiteindelijk als:

Opmerking: als de belpremie is kortgesloten, moet dit een toevoeging aan de portefeuille zijn en geen aftrekking.

c = e (−rt) u − d × [(e (−rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) x [(e (-RT) -d) x + Jong (u-e (-RT)) × Pdown]

Een andere manier om de vergelijking te schrijven is door deze te herschikken:

Neem "q" als:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

Dan wordt de vergelijking:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ tekst {omlaag}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Het herschikken van de vergelijking in termen van "q" heeft een nieuw perspectief geboden.

Nu kunt u "q" interpreteren als de waarschijnlijkheid van de onderliggende beweging van de onderliggende waarde (aangezien "q" wordt geassocieerd met P _omhoog en "1-q" wordt geassocieerd met P _dn ). Over het algemeen vertegenwoordigt de vergelijking de optieprijs van vandaag, de contante waarde van de uitbetaling bij afloop.

Deze "Q" is anders

Hoe verschilt deze waarschijnlijkheid "q" van de waarschijnlijkheid van een opwaartse beweging of een neerwaartse beweging van de onderliggende ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = Waarde van aandelenkoers op tijdstip t \ begin {uitgelijnd} & \ text {VSP} = q \ keer X \ keer u + (1 - q) \ keer X \ keer d \\ & \ textbf {waar:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Waarde van aandelenkoers op tijd} t \\ \ end {uitgelijnd} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = waarde van aandelenkoers op tijdstip t

Als u de waarde van "q" vervangt en herschikt, komt de aandelenkoers op tijdstip "t" uit op:

Voorraadprijs = e (rt) × X \ begin {uitgelijnd} & \ text {Voorraadprijs} = e (rt) \ keer X \\ \ einde {uitgelijnd} Voorraadprijs = e (rt) × X

In deze veronderstelde wereld van twee staten, stijgt de aandelenkoers eenvoudig door het risicovrije rendement, precies zoals een risicovrij actief, en daarom blijft het onafhankelijk van enig risico. Beleggers zijn onverschillig voor risico's onder dit model, dus dit vormt het risiconeutrale model.

Waarschijnlijkheid "q" en "(1-q)" staan ​​bekend als risiconeutrale waarschijnlijkheden en de waarderingsmethode staat bekend als het risiconeutrale waarderingsmodel.

Het voorbeeldscenario heeft één belangrijke vereiste - de toekomstige uitbetalingsstructuur is met precisie vereist (niveau $ 110 en $ 90). In het echte leven is dergelijke duidelijkheid over op stappen gebaseerde prijsniveaus niet mogelijk; de prijs beweegt eerder willekeurig en kan zich op meerdere niveaus vestigen.

Om het voorbeeld verder uit te breiden, neem aan dat tweestaps prijsniveaus mogelijk zijn. We kennen de tweede stap definitieve uitbetalingen en we moeten de optie vandaag waarderen (bij de eerste stap):

Achterwaarts werkend kan de tussentijdse eerste stapwaardering (op t = 1) worden gemaakt met behulp van de laatste uitbetalingen in stap twee (t = 2), vervolgens met behulp van deze berekende eerste stapwaardering (t = 1), de huidige waardering (t = 0) kan met deze berekeningen worden bereikt.

Om optieprijzen op nummer twee te krijgen, worden uitbetalingen op vier en vijf gebruikt. Om prijzen voor nummer drie te krijgen, worden uitbetalingen op vijf en zes gebruikt. Ten slotte worden berekende uitbetalingen op twee en drie gebruikt om prijzen op nummer één te krijgen.

Merk op dat dit voorbeeld bij beide stappen dezelfde factor veronderstelt voor omhoog (en omlaag) bewegingen - u en d worden op een samengestelde manier toegepast.

Een werkend voorbeeld

Stel dat een putoptie met een uitoefenprijs van $ 110 momenteel wordt verhandeld tegen $ 100 en over een jaar vervalt. Het jaarlijkse risicovrije tarief is 5%. De prijs zal naar verwachting met 20% stijgen en met 6% dalen om de zes maanden.

Hier is u = 1, 2 en d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

met behulp van de bovenstaande afgeleide formule van

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) −d

we krijgen q = 0.35802832

waarde van putoptie bij punt 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) waarbij: p = Prijs van de putoptie \ begin {uitgelijnd} & p_2 = e (-rt) \ keer (p \ keer P_ \ tekst {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {waar:} \\ & p = \ text {Prijs van de putoptie} \\ \ end {uitgelijnd} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) waarbij: p = Prijs van de putoptie

Bij P _upup- toestand is de onderliggende waarde = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 hetgeen leidt tot P _upup = nul

Bij P- _update is de onderliggende waarde = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102, wat leidt tot P- _update = $ 8

_Onder voorwaarde van P _dndn is de onderliggende waarde = 100 * 0, 85 * 0, 85 = $ 72, 25 hetgeen leidt tot P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

Op dezelfde manier is p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) x (q × p2 + (1-q) p3)

En dus de waarde van de putoptie, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = $ 18, 29.

Op dezelfde manier kunt u met binomiale modellen de gehele optieduur doorbreken om meerdere stappen en niveaus verder te verfijnen. Met behulp van computerprogramma's of spreadsheets kunt u stap voor stap achteruit werken om de huidige waarde van de gewenste optie te krijgen.

Een ander voorbeeld

Ga uit van een putoptie van het Europese type met een vervaldatum van negen maanden, een uitoefenprijs van $ 12 en een huidige onderliggende prijs van $ 10. Ga uit van een risicovrij percentage van 5% voor alle periodes. Stel dat om de drie maanden de onderliggende prijs 20% omhoog of omlaag kan bewegen, wat ons u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 en een drie-stappen binomiale boom geeft.

Rood geeft onderliggende prijzen aan, terwijl blauw de uitbetaling van putopties aangeeft.

Risico-neutrale waarschijnlijkheid "q" wordt berekend op 0, 531446.

Met de bovenstaande waarde van "q" en uitbetalingswaarden op t = negen maanden, worden de overeenkomstige waarden op t = zes maanden berekend als:

Verder, met behulp van deze berekende waarden op t = 6, zijn waarden op t = 3 en vervolgens op t = 0:

Dat geeft de huidige waarde van een putoptie als $ 2, 18, vrij dicht bij wat je zou vinden bij het uitvoeren van de berekeningen met het Black-Scholes-model ($ 2, 30).

Het komt neer op

Hoewel het gebruik van computerprogramma's deze intensieve berekeningen gemakkelijk kan maken, blijft de voorspelling van toekomstige prijzen een belangrijke beperking van binomiale modellen voor optieprijzen. Hoe fijner de tijdsintervallen, hoe moeilijker het wordt om de uitbetalingen aan het einde van elke periode met precisie op hoog niveau te voorspellen.

De flexibiliteit om de verwachte veranderingen in verschillende periodes op te nemen, is echter een pluspunt, waardoor het geschikt is voor het waarderen van Amerikaanse opties, inclusief vroegtijdige beoordelingen.

De waarden die zijn berekend met behulp van het binomiale model komen nauw overeen met die van andere veelgebruikte modellen zoals Black-Scholes, wat het nut en de nauwkeurigheid van binomiale modellen voor optieprijzen aangeeft. Binomiale prijsmodellen kunnen worden ontwikkeld volgens de voorkeuren van een handelaar en kunnen werken als alternatief voor Black-Scholes.