Gebruikmakende van Common Stock Probability Distribution Methods

Bijna ongeacht uw mening over de voorspelbaarheid of efficiëntie van markten, zult u waarschijnlijk het ermee eens zijn dat gegarandeerd rendement voor de meeste activa onzeker of riskant is. Als we de wiskunde die aan de kansverdelingen ten grondslag ligt negeren, kunnen we zien dat het afbeeldingen zijn die een bepaald beeld van onzekerheid beschrijven. De kansverdeling is een statistische berekening die de kans beschrijft dat een gegeven variabele tussen of binnen een specifiek bereik op een plotgrafiek valt.

Onzekerheid verwijst naar willekeur. Het verschilt van een gebrek aan voorspelbaarheid of marktinefficiëntie. Een opkomende onderzoeksvisie houdt in dat financiële markten zowel onzeker als voorspelbaar zijn. Ook kunnen markten efficiënt maar ook onzeker zijn.

In de financiële wereld gebruiken we kansverdelingen om afbeeldingen te maken die onze visie op de gevoeligheid van een actief rendement illustreren wanneer we denken dat het actief rendement als een willekeurige variabele kan worden beschouwd. In dit artikel bespreken we enkele van de meest populaire kansverdelingen en laten we u zien hoe u deze kunt berekenen.

Verdelingen kunnen worden gecategoriseerd als discreet of continu, en door of het een waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie (PDF) of een cumulatieve verdeling is.

Discrete versus continue distributies

Discreet verwijst naar een willekeurige variabele getrokken uit een eindige set van mogelijke resultaten. Een zeszijdige dobbelsteen heeft bijvoorbeeld zes afzonderlijke uitkomsten. Een continue verdeling verwijst naar een willekeurige variabele getrokken uit een oneindige verzameling. Voorbeelden van continue willekeurige variabelen zijn snelheid, afstand en sommige activarendementen. Een discrete willekeurige variabele wordt typisch geïllustreerd met punten of streepjes, terwijl een continue variabele wordt geïllustreerd met een ononderbroken lijn. Figuur 1 toont discrete en continue verdelingen voor een normale verdeling met gemiddelde (verwachte waarde) van 50 en een standaardafwijking van 10:

Figuur 1

De verdeling is een poging om onzekerheid in kaart te brengen. In dit geval is een uitkomst van 50 het meest waarschijnlijk, maar zal slechts ongeveer 4% van de tijd gebeuren; een uitkomst van 40 is een standaardafwijking onder het gemiddelde en het zal iets minder dan 2, 5% van de tijd voorkomen.

Kansdichtheid versus cumulatieve verdeling

Het andere onderscheid is tussen de waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie (PDF) en de cumulatieve verdelingsfunctie. De PDF is de kans dat onze willekeurige variabele een specifieke waarde bereikt (of in het geval van een continue variabele, tussen een interval valt). We laten zien dat door de kans aan te geven dat een willekeurige variabele X gelijk is aan een werkelijke waarde x:

P [x = X] \ begin {uitgelijnd} & P [x = X] \\ \ einde {uitgelijnd} P [x = X]

De cumulatieve verdeling is de kans dat willekeurige variabele X kleiner is dan of gelijk is aan de werkelijke waarde x:

P [x <= X] \ begin {uitgelijnd} & P [x <= X] \\ \ einde {uitgelijnd} P [x <= X]

of bijvoorbeeld, als je lengte een willekeurige variabele is met een verwachte waarde van 5'10 "inch (de gemiddelde lengte van je ouders), dan is de PDF-vraag:" Wat is de kans dat je een hoogte van 5'4 zult bereiken "" >

Figuur 1 liet twee normale verdelingen zien. U kunt nu zien dat dit zijn waarschijnlijkheiddichtheidsfunctie (PDF) -plots. Als we exact dezelfde verdeling opnieuw plotten als een cumulatieve verdeling, krijgen we het volgende:

Figuur 2

De cumulatieve verdeling moet uiteindelijk 1, 0 of 100% op de y-as bereiken. Als we de lat hoog genoeg leggen, vallen op een gegeven moment vrijwel alle resultaten onder die lat (we zouden kunnen zeggen dat de verdeling typisch asymptotisch is tot 1, 0).

Financiën, een sociale wetenschap, is niet zo schoon als natuurwetenschappen. Zwaartekracht heeft bijvoorbeeld een elegante formule waar we keer op keer op kunnen vertrouwen. Rendementen van financiële activa kunnen daarentegen niet zo consistent worden gerepliceerd. Door de jaren heen is een verbazingwekkende hoeveelheid geld verloren gegaan door slimme mensen die de juiste distributies (dat wil zeggen alsof ze afkomstig waren uit de natuurwetenschappen) verward met de rommelige, onbetrouwbare benaderingen die proberen financieel rendement weer te geven. In financiën zijn kansverdelingen weinig meer dan ruwe picturale weergaven.

Uniforme verdeling

De eenvoudigste en meest populaire verdeling is de uniforme verdeling, waarbij alle uitkomsten een gelijke kans hebben om zich voor te doen. Een zeszijdige dobbelsteen heeft een uniforme verdeling. Elke uitkomst heeft een waarschijnlijkheid van ongeveer 16, 67% (1/6). Onze onderstaande plot toont de ononderbroken lijn (zodat u het beter kunt zien), maar houd er rekening mee dat dit een discrete verdeling is - u kunt niet 2.5 of 2.11 rollen:

figuur 3

Rol nu twee dobbelstenen samen, zoals weergegeven in figuur 4, en de verdeling is niet langer uniform. Het piekt op zeven, wat toevallig een kans van 16, 67% heeft. In dit geval zijn alle andere resultaten minder waarschijnlijk:

Figuur 4

Rol nu drie dobbelstenen samen, zoals weergegeven in figuur 5. We beginnen de effecten te zien van een meest verbazingwekkende stelling: de centrale limietstelling. De centrale limietstelling belooft stoutmoedig dat de som of het gemiddelde van een reeks onafhankelijke variabelen de neiging hebben normaal verdeeld te worden, ongeacht hun eigen verdeling . Onze dobbelstenen zijn individueel uniform maar combineren ze en - naarmate we meer dobbelstenen toevoegen - zal hun som bijna op magische wijze neigen naar de bekende normale verdeling.

Figuur 5

Binomiale verdeling

De binomiale verdeling weerspiegelt een reeks "of / of" -proeven, zoals een reeks muntenworp. Dit worden Bernoulli-proeven genoemd - die verwijzen naar gebeurtenissen met slechts twee uitkomsten - maar u hebt geen even (50/50) kansen nodig. De binomiale verdeling hieronder geeft een reeks van 10 muntstukken weer waarbij de kans op koppen 50% is (p-0, 5). Je kunt in figuur 6 zien dat de kans om precies vijf koppen en vijf staarten om te draaien (volgorde maakt niet uit) 25% schuw is:

Figuur 6

Als de binomiale verdeling er normaal uitziet, hebt u daar gelijk in. Naarmate het aantal proeven toeneemt, neigt de binomiale richting de normale verdeling.

Lognormale verdeling

De lognormale verdeling is erg belangrijk in de financiën omdat veel van de meest populaire modellen ervan uitgaan dat aandelenkoersen lognormaal worden verdeeld. Het is gemakkelijk om activarendementen te verwarren met prijsniveaus.

Activarendementen worden vaak als normaal behandeld - een aandeel kan 10% of 10% omhoog gaan. Prijsniveaus worden vaak behandeld als lognormaal - een aandeel van $ 10 kan oplopen tot $ 30, maar het kan niet dalen tot - $ 10. De lognormale verdeling is niet-nul en scheef naar rechts (nogmaals, een aandeel kan niet onder nul vallen, maar het heeft geen theoretische opwaartse limiet):

Figuur 7

vergif

De Poisson-verdeling wordt gebruikt om de kansen te beschrijven van een bepaalde gebeurtenis (bijvoorbeeld een dagelijks portefeuilleverlies van minder dan 5%) die zich gedurende een tijdsinterval voordoet. Dus in het onderstaande voorbeeld gaan we ervan uit dat sommige operationele processen een foutenpercentage van 3% hebben. We gaan verder uit van 100 willekeurige proeven; de Poisson-verdeling beschrijft de kans op het krijgen van een bepaald aantal fouten gedurende een bepaalde periode, zoals een enkele dag.

Figuur 8

Student's T

De T-verdeling van de student is ook erg populair omdat deze een iets "dikkere staart" heeft dan de normale verdeling. De T van de student wordt meestal gebruikt wanneer onze steekproefgrootte klein is (dwz minder dan 30). In financiën vertegenwoordigt de linkerstaart de verliezen. Daarom, als de steekproefgrootte klein is, durven we de kansen op een groot verlies te onderschatten. De dikkere staart op de T van de student zal ons hier helpen. Toch gebeurt het dat de dikke staart van deze verdeling vaak niet dik genoeg is. Financieel rendement vertoont meestal, in zeldzame gevallen, fatale verliezen (dwz dikker dan voorspeld door de distributies). Grote bedragen zijn verloren gegaan met betrekking tot dit punt.

Figuur 9

Beta distributie

Ten slotte is de bèta-verdeling (niet te verwarren met de bètaparameter in het prijsmodel voor kapitaalgoederen) populair bij modellen die de herstelpercentages van obligatieportefeuilles schatten. De bèta-distributie is de utility-speler van distributies. Net als de normale, heeft het slechts twee parameters (alfa en beta) nodig, maar ze kunnen worden gecombineerd voor opmerkelijke flexibiliteit. Vier mogelijke bètadistributies worden geïllustreerd in Afbeelding 10 hieronder:

Figuur 10

Het komt neer op

Zoals zoveel schoenen in onze statistische schoenenkast, proberen we de beste pasvorm voor de gelegenheid te kiezen, maar we weten niet echt wat het weer voor ons in petto heeft. We kunnen een normale verdeling kiezen en er vervolgens achter komen dat deze de verliezen aan de linkerkant heeft onderschat; dus we schakelen over naar een scheve distributie, alleen om te ontdekken dat de gegevens er "normaal" uitzien in de volgende periode. De elegante wiskunde hieronder kan je verleiden te denken dat deze verdelingen een diepere waarheid onthullen, maar het is waarschijnlijker dat het slechts menselijke artefacten zijn. Alle distributies die we hebben beoordeeld, zijn bijvoorbeeld behoorlijk soepel, maar sommige activarendementen springen discontinu.

De normale verdeling is alomtegenwoordig en elegant en vereist slechts twee parameters (gemiddelde en verdeling). Veel andere distributies komen samen in de richting van het normale (bijv. Binomiaal en Poisson). Veel situaties, zoals het rendement van hedgefondsen, kredietportefeuilles en gebeurtenissen met ernstig verlies, verdienen echter niet de normale uitkeringen.