Het gebruik en de limieten van volatiliteit

Beleggers willen zich concentreren op de belofte van hoge rendementen, maar ze moeten ook vragen hoeveel risico ze moeten nemen in ruil voor deze rendementen. Hoewel we vaak spreken van risico in algemene zin, zijn er ook formele uitingen van de risico-beloningsrelatie. De Sharpe-ratio meet bijvoorbeeld het overtollige rendement per eenheid risico, waarbij risico wordt berekend als volatiliteit, wat een traditionele en populaire risicomaatstaf is. De statistische eigenschappen zijn goed bekend en passen in verschillende kaders, zoals de moderne portefeuilletheorie en het Black-Scholes-model. In dit artikel onderzoeken we volatiliteit om het gebruik en de beperkingen ervan te begrijpen.

Jaarlijkse standaardafwijking
In tegenstelling tot impliciete volatiliteit - die behoort tot de optieprijsstellingstheorie en een toekomstgerichte schatting is op basis van een marktconsensus - kijkt reguliere volatiliteit achteruit. Het is met name de standaarddeviatie op jaarbasis van historische rendementen.

Traditionele risicokaders die gebaseerd zijn op standaarddeviatie gaan er in het algemeen van uit dat rendementen conform zijn aan een normale klokvormige verdeling. Normale distributies geven ons handige richtlijnen: ongeveer tweederde van de tijd (68, 3%) moeten rendementen binnen één standaarddeviatie vallen (+/-); en 95% van de tijd moeten rendementen binnen twee standaarddeviaties vallen. Twee kwaliteiten van een normale distributiegrafiek zijn dunne "staarten" en perfecte symmetrie. Magere staarten impliceren een zeer laag voorkomen (ongeveer 0, 3% van de tijd) van rendementen die meer dan drie standaarddeviaties afwijken van het gemiddelde. Symmetrie impliceert dat de frequentie en omvang van opwaartse winsten een spiegelbeeld is van neerwaartse verliezen.

ZIE: De impact van volatiliteit op het marktrendement

Bijgevolg behandelen traditionele modellen alle onzekerheid als risico, ongeacht de richting. Zoals veel mensen hebben aangetoond, is dat een probleem als het rendement niet symmetrisch is - beleggers maken zich zorgen over hun verliezen "links" van het gemiddelde, maar ze maken zich geen zorgen over winsten rechts van het gemiddelde.

We illustreren deze gril hieronder met twee fictieve aandelen. De vallende voorraad (blauwe lijn) is volkomen zonder dispersie en produceert daarom een ​​volatiliteit van nul, maar de stijgende voorraad - omdat het verschillende opwaartse schokken vertoont maar geen enkele daling - produceert een volatiliteit (standaardafwijking) van 10%.

Theoretische eigenschappen
Wanneer we bijvoorbeeld de volatiliteit berekenen voor de S&P 500-index per 31 januari 2004, komen we ergens uit op 14, 7% tot 21, 1%. Waarom zo'n bereik ">

Merk op dat de volatiliteit toeneemt naarmate het interval toeneemt, maar lang niet evenredig: het weekblad is niet bijna vijf keer de dagelijkse hoeveelheid en het maandelijks is niet bijna vier keer het weekblad. We zijn tot een belangrijk aspect van de random walk-theorie gekomen: standaardafwijkingsschalen (verhogingen) in verhouding tot de vierkantswortel van de tijd. Daarom, als de dagelijkse standaardafwijking 1, 1% is, en als er 250 handelsdagen in een jaar zijn, is de op jaarbasis berekende standaardafwijking de dagelijkse standaardafwijking van 1, 1% vermenigvuldigd met de vierkantswortel van 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . Dit wetende, kunnen we de intervalstandaardafwijkingen voor de S&P 500 op jaarbasis maken door de vierkantswortel van het aantal intervallen in een jaar te vermenigvuldigen:

Een andere theoretische eigenschap van volatiliteit kan je al dan niet verbazen: het tast rendement aan. Dit komt door de belangrijkste veronderstelling van het random walk-idee: dat rendement wordt uitgedrukt in percentages. Stel je voor dat je begint met $ 100 en dan 10% wint om $ 110 te krijgen. Dan verlies je 10%, wat je $ 99 oplevert ($ 110 x 90% = $ 99). Dan krijg je weer 10%, om $ 108, 90 te krijgen ($ 99 x 110% = $ 108, 9). Uiteindelijk verlies je 10% tot $ 98, 01. Het kan contra-intuïtief zijn, maar uw opdrachtgever erodeert langzaam, ook al is uw gemiddelde winst 0%!

Als u bijvoorbeeld een gemiddelde jaarlijkse winst van 10% per jaar verwacht (dwz rekenkundig gemiddelde), blijkt dat uw verwachte winst op lange termijn iets minder dan 10% per jaar is. In feite zal het worden verminderd met ongeveer de helft van de variantie (waarbij variantie de standaard kwadraatafwijking is). In de pure hypothetische hieronder beginnen we met $ 100 en stellen we ons vervolgens vijf jaar volatiliteit voor om te eindigen met $ 157:

Het gemiddelde jaarlijkse rendement over de vijf jaar was 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), maar de

(CAGR of geometrische terugkeer) is een nauwkeurigere maat voor de

en het was slechts 9, 49%. Volatiliteit heeft het resultaat uitgehold en het verschil is ongeveer de helft van de variantie van 1, 1%. Deze resultaten zijn niet van een historisch voorbeeld, maar in termen van verwachtingen, gegeven een standaardafwijking van

(variantie is het kwadraat van de standaarddeviatie,

^ 2) en een verwachte gemiddelde winst van

, het verwachte rendement op jaarbasis is ongeveer

- (

^ 2 ÷ 2).

Are Returns Well-Behaved "> Nasdaq hieronder (ongeveer 2500 dagelijkse observaties):

Zoals u mag verwachten, is de volatiliteit van Nasdaq (geannualiseerde standaardafwijking van 28, 8%) groter dan de volatiliteit van de S&P 500 (geannualiseerde standaardafwijking op 18, 1%). We kunnen twee verschillen waarnemen tussen de normale verdeling en het werkelijke rendement. Ten eerste hebben de werkelijke rendementen hogere pieken - wat betekent dat het rendement boven het gemiddelde ligt. Ten tweede hebben werkelijke rendementen dikkere staarten. (Onze bevindingen komen enigszins overeen met uitgebreidere academische studies, die ook de neiging hebben om hoge pieken en dikke staarten te vinden; de technische term hiervoor is kurtosis). Laten we zeggen dat we min drie standaardafwijkingen als een groot verlies beschouwen: de S&P 500 ondervond ongeveer -3, 4% van de tijd een dagelijks verlies van min drie standaardafwijkingen. De normale curve voorspelt dat zo'n verlies ongeveer drie keer zou optreden in 10 jaar, maar het gebeurde eigenlijk 14 keer!

Dit zijn verdelingen van afzonderlijke intervalrendementen, maar wat zegt de theorie over rendementen in de loop van de tijd "> gemiddeld jaarlijks rendement (over de afgelopen 10 jaar) was ongeveer 10, 6% en, zoals besproken, de jaarlijkse volatiliteit was 18, 1%. Hier voeren we een hypothetische door te beginnen met $ 100 en deze meer dan 10 jaar vast te houden, maar we stellen de investering elk jaar bloot aan een willekeurige uitkomst die gemiddeld 10, 6% bedroeg met een standaardafwijking van 18, 1%. Deze proef werd 500 keer uitgevoerd, waardoor het een zogenaamde Monte Carlo werd simulatie De uiteindelijke prijsresultaten van 500 proeven worden hieronder weergegeven:

Een normale verdeling wordt alleen als achtergrond getoond om de zeer niet-normale prijsresultaten te benadrukken. Technisch gezien zijn de uiteindelijke prijsresultaten lognormaal (wat betekent dat als de x-as zou worden geconverteerd naar de natuurlijke log van x, de verdeling er normaler uitziet). Het punt is dat verschillende prijsuitkomsten ver naar rechts zijn: van de 500 proeven leverden zes uitkomsten een eindejaarsperiode van $ 700 op! Deze kostbare paar resultaten wisten gemiddeld meer dan 20% te verdienen, elk jaar, gedurende 10 jaar. Aan de linkerkant, omdat een afnemend saldo de cumulatieve effecten van procentuele verliezen vermindert, kregen we slechts een handvol eindresultaten die minder dan $ 50 waren. Om een ​​moeilijk idee samen te vatten, kunnen we zeggen dat intervalrendementen - uitgedrukt in procenttermen - normaal verdeeld zijn, maar de uiteindelijke prijsresultaten log-normaal verdeeld zijn.

ZIE: Multivariate modellen: de Monte Carlo-analyse

Ten slotte is een andere bevinding van onze proeven consistent met de "erosie-effecten" van volatiliteit: als uw investering elk jaar exact het gemiddelde verdiende, zou u aan het einde ongeveer $ 273 aanhouden (10, 6% samengesteld over 10 jaar). Maar in dit experiment was onze totale verwachte winst dichter bij $ 250. Met andere woorden, de gemiddelde (rekenkundige) jaarlijkse winst was 10, 6%, maar de cumulatieve (geometrische) winst was minder.

Het is van cruciaal belang om in gedachten te houden dat onze simulatie een willekeurige wandeling veronderstelt: het gaat ervan uit dat terugkeer van de ene periode naar de volgende volledig onafhankelijk is. We hebben dat geenszins bewezen, en het is geen triviale veronderstelling. Als u denkt dat rendementen trends volgen, zegt u technisch gezien dat ze een positieve seriële correlatie vertonen. Als je denkt dat ze terugkeren naar het gemiddelde, dan zeg je technisch gezien dat ze een negatieve seriële correlatie vertonen. Geen van beide standpunten is consistent met onafhankelijkheid.

Het komt neer op
Volatiliteit is de standaardafwijking van rendementen op jaarbasis. In het traditionele theoretische kader meet het niet alleen het risico, maar beïnvloedt het ook de verwachting van rendementen op lange termijn (meerdere periodes). Als zodanig vraagt ​​het ons de dubieuze veronderstellingen te accepteren dat intervalresultaten normaal verdeeld en onafhankelijk zijn. Als deze aannames waar zijn, is hoge vluchtigheid een tweesnijdend zwaard: het tast je verwachte langetermijnrendement aan (het verlaagt het rekenkundig gemiddelde tot het geometrische gemiddelde), maar het biedt je ook meer kansen om een ​​paar grote winsten te maken.

ZIE: Impliciete volatiliteit: laag kopen en hoog verkopen