Het verkennen van het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde

Volatiliteit is de meest voorkomende maat voor risico, maar het komt in verschillende smaken. In een vorig artikel hebben we laten zien hoe we eenvoudige historische volatiliteit kunnen berekenen. In dit artikel zullen we de eenvoudige volatiliteit verbeteren en het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) bespreken.

Historische versus impliciete volatiliteit

Laten we eerst deze statistiek in een beetje perspectief plaatsen. Er zijn twee brede benaderingen: historische en impliciete (of impliciete) volatiliteit. De historische benadering veronderstelt dat het verleden een proloog is; we meten de geschiedenis in de hoop dat het voorspellend is. Impliciete volatiliteit negeert daarentegen de geschiedenis; het lost de volatiliteit op die wordt geïmpliceerd door marktprijzen. Het hoopt dat de markt het beste weet en dat de marktprijs, al impliciet, een consensusschatting van de volatiliteit bevat.

Als we ons concentreren op alleen de drie historische benaderingen (links hierboven), hebben ze twee gemeenschappelijke stappen:

1. Bereken de reeks periodieke retouren
2. Pas een wegingsschema toe

Eerst berekenen we het periodieke rendement. Dat is meestal een reeks dagelijkse rendementen waarbij elk rendement wordt uitgedrukt in voortdurend samengestelde termen. Voor elke dag nemen we de natuurlijke log van de verhouding tussen aandelenkoersen (dat wil zeggen de prijs van vandaag gedeeld door de prijs van gisteren, enzovoort).

ui = lnsisi − 1waar: ui = rendement op dag isi = aandelenkoers op dag isi − 1 = aandelenkoers de dag voor dag i \ begin {uitgelijnd} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {where:} \\ & u_i = \ text {retour op dag} i \\ & s_i = \ text {aandelenkoers op dag} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {aandelenkoers de dag voor dag} i \\ \ end {uitgelijnd} ui = lnsi − 1 si waarbij: ui = rendement op dag isi = aandelenkoers op dag isi − 1 = aandelenkoers de dag voor dag i

Dit levert een reeks dagelijkse rendementen op, van u _i tot u _im, afhankelijk van hoeveel dagen (m = dagen) we meten.

Dat brengt ons bij de tweede stap: hier verschillen de drie benaderingen. In het vorige artikel hebben we laten zien dat onder een paar acceptabele vereenvoudigingen, de eenvoudige variantie het gemiddelde is van de gekwadrateerde rendementen:

variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12where: m = aantal gemeten dagenn = dayiu = verschil in rendement van het gemiddelde rendement \ begin {uitgelijnd} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {waar:} \\ & m = \ text {aantal gemeten dagen} \\ & n = \ text {dag} i \\ & u = \ text {verschil in rendement van het gemiddelde rendement} \\ \ end {uitgelijnd} variantie = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 waarbij: m = aantal gemeten dagenn = dayiu = verschil van het gemiddelde rendement

Merk op dat dit elk van de periodieke rendementen optelt en vervolgens dat totaal deelt door het aantal dagen of waarnemingen (m). Het is dus eigenlijk slechts een gemiddelde van de gekwadrateerde periodieke rendementen. Anders gezegd, elk vierkant rendement krijgt een gelijk gewicht. Dus als alfa (a) een wegingsfactor is (specifiek a = 1 / m), ziet een eenvoudige variantie er ongeveer zo uit:

De EWMA verbetert de eenvoudige variantie
De zwakte van deze benadering is dat alle rendementen hetzelfde gewicht verdienen. Het (zeer recente) rendement van gisteren heeft niet meer invloed op de variantie dan het rendement van vorige maand. Dit probleem wordt opgelost door het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) te gebruiken, waarbij recentere rendementen een groter gewicht hebben aan de variantie.

Het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) introduceert lambda, die de afvlakparameter wordt genoemd. Lambda moet kleiner zijn dan één. Onder die voorwaarde wordt elk kwadraatrendement als volgt gewogen in plaats van gelijke gewichten:

RiskMetrics ^TM _, een bedrijf voor financieel risicobeheer, heeft bijvoorbeeld de neiging om een ​​lambda van 0, 94 of 94% te gebruiken. In dit geval wordt het eerste (meest recente) gekwadrateerde periodieke rendement gewogen met (1-0, 94) (. 94) ⁰ = 6%. De volgende vierkante terugkeer is eenvoudig een lambda-veelvoud van het voorgaande gewicht; in dit geval 6% vermenigvuldigd met 94% = 5, 64%. En het gewicht van de derde voorafgaande dag is gelijk aan (1-0, 94) (0, 94) ² = 5, 30%.

Dat is de betekenis van "exponentieel" in EWMA: elk gewicht is een constante vermenigvuldiger (dwz lambda, die minder dan één moet zijn) van het gewicht van de vorige dag. Dit zorgt voor een afwijking die is gewogen of gericht op recentere gegevens. Het verschil tussen volatiliteit en EWMA voor Google wordt hieronder weergegeven.

De eenvoudige volatiliteit weegt effectief elk en elk periodiek rendement met 0, 196%, zoals weergegeven in kolom O (we hadden twee jaar aan dagelijkse koersgegevens. Dat is 509 dagelijkse rendementen en 1/509 = 0, 196%). Maar merk op dat kolom P een gewicht toekent van 6%, vervolgens 5, 64%, vervolgens 5, 3% enzovoort. Dat is het enige verschil tussen eenvoudige variantie en EWMA.

Onthoud: nadat we de hele reeks (in kolom Q) hebben opgeteld, hebben we de variantie, die het kwadraat is van de standaarddeviatie. Als we vluchtigheid willen, moeten we eraan denken om de vierkantswortel van die variantie te nemen.

Wat is het verschil in dagelijkse volatiliteit tussen de variantie en EWMA in het geval van Google ">

De variantie van vandaag is een functie van de variantie van de vorige dag

U zult merken dat we een lange reeks exponentieel afnemende gewichten moesten berekenen. We zullen hier geen wiskunde doen, maar een van de beste functies van de EWMA is dat de hele serie gemakkelijk wordt teruggebracht tot een recursieve formule:

σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12where: λ = de mate van weging afnameσ2 = waarde bij periode nu2 = waarde van EWMA bij periode n \ begin {uitgelijnd} & \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {waar:} \\ & \ lambda = \ text {de mate van weging afnemen} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {waarde in tijdsperiode} n \\ & u ^ 2 = \ text {waarde van EWMA in tijdsperiode} n \\ \ end {uitgelijnd} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 waarbij: λ = de mate van weging afnameσ2 = waarde in tijdsperiode nu2 = waarde van EWMA in tijdsperiode n

Recursief betekent dat de variantiereferenties van vandaag (dat wil zeggen een functie is van de variantie van de vorige dag). U kunt deze formule ook in de spreadsheet vinden en deze produceert exact hetzelfde resultaat als de berekening met de lange hand! Het zegt: de variantie van vandaag (onder EWMA) is gelijk aan de variantie van gisteren (gewogen naar lambda) plus de gekwadrateerde return van gisteren (gewogen met één min lambda). Merk op hoe we slechts twee termen bij elkaar optellen: de gewogen variantie van gisteren en de gewogen, geruchten winst van gisteren.

Toch is lambda onze afvlakparameter. Een hogere lambda (bijvoorbeeld, zoals 94% van RiskMetric) duidt op een langzamer verval in de reeks - in relatieve termen zullen we meer gegevenspunten in de reeks hebben en deze zullen langzamer "vallen". Aan de andere kant, als we de lambda verminderen, duiden we op hoger verval: de gewichten vallen sneller af en, als een direct resultaat van het snelle verval, worden minder gegevenspunten gebruikt. (In de spreadsheet is lambda een invoer, zodat u kunt experimenteren met de gevoeligheid ervan).

Samenvatting
Volatiliteit is de onmiddellijke standaardafwijking van een aandeel en de meest gebruikelijke risicometriek. Het is ook de vierkantswortel van variantie. We kunnen variantie historisch of impliciet meten (impliciete volatiliteit). Bij historisch meten is de eenvoudigste methode eenvoudige variantie. Maar de zwakte met eenvoudige variantie is dat alle rendementen hetzelfde gewicht krijgen. We staan ​​dus voor een klassieke afweging: we willen altijd meer gegevens, maar hoe meer gegevens we hebben, hoe meer onze berekening wordt verdund door verre (minder relevante) gegevens. Het exponentieel gewogen voortschrijdend gemiddelde (EWMA) verbetert de eenvoudige variantie door gewichten toe te wijzen aan de periodieke rendementen. Door dit te doen, kunnen we allebei een grote steekproef gebruiken, maar ook meer gewicht geven aan recentere retouren.