Lognormale en normale verdeling

De wiskunde achter financiën kan een beetje verwarrend en vervelend zijn. Gelukkig maken de meeste computerprogramma's complexe berekeningen. Het is echter van cruciaal belang om de verschillende statistische termen en methoden, hun betekenis en de beste analyse van investeringen te begrijpen om de juiste beveiliging te kiezen en de gewenste impact op een portfolio te krijgen.

Een belangrijke beslissing is het kiezen tussen normale versus lognormale distributies, beide worden vaak genoemd in onderzoeksliteratuur. Voordat u kiest, moet u het volgende weten:

• Wat zij zijn
• Welke verschillen zijn er tussen hen
• Hoe ze van invloed zijn op investeringsbeslissingen

Normaal versus lognormaal

Zowel normale als lognormale verdelingen worden in de statistische wiskunde gebruikt om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te beschrijven. Een munt omdraaien is een gemakkelijk te begrijpen voorbeeld van waarschijnlijkheid. Als je 1000 keer een munt omdraait, wat is de verdeling van de resultaten? Dat wil zeggen, hoe vaak zal het op koppen of staarten landen? Er is een kans van 50% dat het op kop of staart zal landen. Dit basisvoorbeeld beschrijft de waarschijnlijkheid en verdeling van de resultaten.

Er zijn veel soorten distributies, waaronder de normale of belcurve-verdeling. (Zie figuur 1.)

In een normale verdeling valt 68% (34% + 34%) van de resultaten binnen één standaarddeviatie en valt 95% (68% + 13, 5% + 13, 5%) binnen twee standaarddeviaties. In het midden (het 0-punt in de bovenstaande afbeelding) zijn de mediaan (de middelste waarde in de set), de modus (de meest voorkomende waarde) en het gemiddelde (rekenkundig gemiddelde) allemaal hetzelfde.

De lognormale verdeling verschilt op verschillende manieren van de normale verdeling. Een groot verschil zit in de vorm: de normale verdeling is symmetrisch, de lognormale verdeling niet. Omdat de waarden in een lognormale verdeling positief zijn, creëren ze een scheve naar rechts. (Zie figuur 2)

Deze scheefheid is belangrijk om te bepalen welke verdeling geschikt is om te gebruiken bij de besluitvorming over investeringen. Een verder onderscheid is dat de waarden die worden gebruikt om een ​​lognormale verdeling af te leiden normaal verdeeld zijn.

Laten we verduidelijken met een voorbeeld. Een belegger wil een verwachte toekomstige aandelenkoers weten. Omdat aandelen in een samengesteld tempo groeien, moet ze een groeifactor gebruiken. Om mogelijke verwachte prijzen te berekenen, zal ze de huidige aandelenkoers nemen en deze vermenigvuldigen met verschillende rendementen (dit zijn wiskundig afgeleide exponentiële factoren op basis van samenstelling), die normaal worden verdeeld. Wanneer de belegger het rendement continu samenstelt, creëert ze een lognormale verdeling. Deze verdeling is altijd positief, zelfs als sommige rendementen negatief zijn, wat 50% van de tijd in een normale verdeling zal gebeuren. De toekomstige aandelenkoers zal altijd positief zijn, omdat aandelenkoersen niet onder $ 0 kunnen dalen.

Wanneer normaal gebruiken versus lognormale verdeling

Het voorgaande voorbeeld heeft ons geholpen om te komen tot wat echt belangrijk is voor beleggers: wanneer elke methode moet worden gebruikt. Lognormal is uiterst nuttig bij het analyseren van aandelenkoersen. Zolang wordt aangenomen dat de gebruikte groeifactor normaal verdeeld is (zoals we aannemen met het rendement), is de lognormale verdeling logisch. Normale verdeling kan niet worden gebruikt om aandelenprijzen te modelleren omdat het een negatieve kant heeft en aandelenkoersen niet onder nul kunnen dalen.

Een ander soortgelijk gebruik van de lognormale verdeling is met de prijsstelling van opties. Het Black-Scholes-model - gebruikt om opties te prijzen - gebruikt de lognormale verdeling als basis om optieprijzen te bepalen.

Omgekeerd werkt de normale verdeling beter bij het berekenen van de totale portfoliorendementen. De normale verdeling wordt gebruikt omdat het gewogen gemiddelde rendement (het product van het gewicht van een effect in een portefeuille en het rendement) nauwkeuriger is bij het beschrijven van het werkelijke portefeuillerendement (positief of negatief), met name als de gewichten variëren met een grote mate. Het volgende is een typisch voorbeeld:

Portfolio Holdings Gewichten Retouren Gewogen rendement

Voorraad A 40% 12% 40% * 12% = 4, 8%

Voorraad B 60% 6% 60% * 6% = 3.6%

Totaal gewogen gemiddeld rendement = 4, 8% + 3, 6% = 8, 4%

Hoewel het lognormale rendement voor de totale portefeuilleprestaties over een langere periode sneller kan worden berekend, kan het de individuele aandelengewichten niet vastleggen, wat het rendement enorm kan verstoren. Het portefeuillerendement kan ook positief of negatief zijn en een lognormale verdeling zal de negatieve aspecten niet kunnen vangen.

Het komt neer op

Hoewel de nuances die een onderscheid maken tussen normale en lognormale distributies, ons meestal kunnen ontgaan, zal kennis van het uiterlijk en de kenmerken van elke distributie inzicht geven in het modelleren van portfolio-rendementen en toekomstige aandelenkoersen.